5.21珠海二模理科数学试题（含答案）(2)

????∴S的单调增区间为?0,? ??????????????????11分

12??????∴S的最大值为4?23，单调增区间为?0,?????????????12分

12??

17．（本小题满分12分）

(B)，在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为如图是两个独立的转盘(A)、60?、120?、90?、90?。用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下

（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘(A)指针所对的区域数为x，转盘(B)指针所对的区域数为y，x、y?{1,2,3,4}，设x?y的值为?，每一次游戏得到奖励分为?. ⑴求x?3且y?2的概率；

⑵某人进行了6次游戏，求他平均可以得到的奖励分。

解：⑴由题意可知：

4 3 2 1 4 3 2 1 （A） （B） 1111P(x?1)?,P(x?2)?,P(x?3)?,P(x?4)?；

63441111P(y?1)?,P(y?2)?,P(y?3)?,P(y?4)?； ????????2分

34461则P(x?3)?P(x?1)?P(x?2)?,

25P(y?2)?P(y?3)?p(y?4)?， ????????4分

125所以P(x?3,y?2)?P(x?3)?P(y?2)? 。 ????????5分

243、4、5、6、7、8，则： ????????6分 ⑵由条件可知?的可能取值为：2、111P(??2)?P(x?1)?P(y?1)???，

3618111111P(??3)?P(x?1)?P(y?2)?P(x?2)?P(y?1)?????，??????7分

463372同理可得：

P(??4)?53713151,P(??5)?,P(??6)?,P(??7)?,P(??8)?，?9分 2414472144242 3 4 5 6 7 8 ∴?的分布列为：

? P 1 1811 725 2437 14413 7215 1441 24 ??????10分 高三理科数学试题第 6 页（共7页）

他平均一次得到的奖励分即为?的期望值：数学驿站 www.maths168.com

1115371315129?3??4??5??6??7??8??，?? 11分 18722414472144246所以给他玩6次，平均可以得到6?E??29分。 ??????12分 E??2?

18.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，?PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC?平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC中点，AB?2AD． (1) 求证：DE?MN；

(2)求二面角B?PA?D的余弦值．

(1) 证明： 连结NE，EB,数学驿站 www.maths168.com ∵ABCD为矩形，M、N、E分别是AB、PD、PC中点 ∴NE//CD//AB，且NE?11AB，MB?AB， 22∴NE//MB，NE?MB，???????2分

∴MNEB是平行四边形

∴MN//BE， ???????????3分

∵?PCD是等边三角形，M、N、E是AB、PD、PC中点， ∴DE?PC， ???????????4分 ∵平面PCD?平面ABCD，BC?CD， ∴BC?平面PCD， ∴DE?BC，

∴DE?平面PBC，???????????6分 ∴DE?BE，

∴MN?DE， ???????????7分

(2)解：过B、D分别作BF?PA于F、DG?PA于G，连结BD。

????????则向量GD、FB的夹角?就是二面角B?PA?D的平面角，?8分

设AD?1，则AB?DC?PD?PC?2， ∴DG?241，BF?，FG?，BD?5，???10分

555????????????????由BD??FB?FG?GD得：

?2????2????2????????????2????????????2???BD?(?FB?FG?GD)?FB?FG?GD?2FB?GD，??12分

2222即BD?FB?FG?GD?2FB?GDcos?，解得cos???1??13分 4∴二面角B?PA?D的余弦值为?

1． ???????????14分 4高三理科数学试题第 7 页（共7页）

19.（本小题满分14分）

在?ABC中，点A的坐标为（3，0），|BC|2?动．

且两端点B，C在y轴上区间[-3，3]上滑

(1) 求?ABC的外心P（三边垂直平分线的交点）的轨迹方程；

(2) 设直线l:y?3x?b与点P的轨迹交于E，F两点，原点O到直线l的距离为d，试求

b的值，使

|EF|最大并求该最大值． d解：（1）设P(x,y)，不妨设B(0,t),C(0,t?2)(?1?t?3)， ??????1分

?x2?(y?t)2?x2?(y?t?2)2(1)?|PB|?|PC|由?得：?， ??????2分 2222?|PA|?|PB|?(x?3)?y?x?(y?t)(2)由（1）得：t?y?1 （3）

将（3）代入（2）化简得：y2?6x?8，????????????????4分 由t?y?1及?1?t?3知：?2?y?2，????????????????5分 ∴外心P的轨迹方程为：y2?6x?8 （?2?y?2）。 ??????6分 （2）设E(x1，y1)、F(x2，y2)

?y?3x?b由?2消x得：y2?2y?2b?8?0(*) ??????7分 ?y?6x?8由题意知：y1、y2是方程（*）在区间[?2,2]上的两个不等实根，则：

???4?4(2b?8)?0?2?(?2)?2?(?2)?2b?8?0，数学驿站 www.maths168.com ?22?2?2?2b?8?0?解得：?4?b??7， ?????????????????? 10分 2原点O到直线l的距离为d?|b|，????????????????? 11分 10|EF|?(1?210(?2b?7)1122 )[(y?y)?4yy]?(1?)[2?4(2b?8)]?12122k93???????? 12分

2|EF|20?2b?720?11?1???7∴ ???? d3b23?b7?7由?4?b??7211|EF|5知：????，则当b??4时，取得最大值，最大值为。 27b4d3 ???????? 14分

高三理科数学试题第 8 页（共7页）

20.（本小题满分14分）

??x3?x2?bx?c(x?1)已知函数f(x)??的图象过点(?1,2)，且在点(?1,f(?1))处的切

(x?1)?alnx线与直线x?5y?1?0垂直； (1) 求实数b,c的值；

(2) 求f(x)在[?1,e] （e为自然对数的底数）上的最大值；

(3) 对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上是否存在两点P,Q，使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

解：（1）当x?1时，f'(x)??3x2?2x?b，????????????1分 由题意得：??f(?1)?2?2?b?c?2，即?， ????????3分

?f'(?1)??5??3?2?b??5解得：b?c?0。 ????????????????????4分

??x3?x2(x?1)（2）由（1）知：f(x)??

(x?1)?alnx①当?1?x?1时，f'(x)??x(3x?2)，

22解f'(x)?0得0?x?；解f'(x)?0得?1?x?0或?x?1

331)上单减，在(0，)上单增， ，0)和(，∴f(x)在(?1由f'(x)??x(3x?2)?0得：x?0或x?∵ f(?1)?2，f()?13232， ???????????5分 34，f(0)?0，f(1)?0， 27∴f(x)在[?1,1)上的最大值为2。 ???????????6分 ②当1?x?e时，f(x)?alnx，

当a?0时，f(x)?0；当a?0时，f(x)在[1,e]单调递增；

∴f(x)在[1,e]上的最大值为a。 ???????????8分 ∴当a?2时，f(x)在[?1,e]上的最大值为a；

当a?2时，f(x)在[?1,e]上的最大值为2。 ???????9分 （3）假设曲线y?f(x)上存在两点P,Q满足题意，则P,Q只能在y轴两侧，不妨设

23P(t,f(t))(t?0)，则Q(?t,t3?t2)，且t?1。 ∵?POQ是以O为直角顶点的直角三角形 ????????∴OP?OQ?0，即?t2?f(t)(t3?t2)?0 （*） ???????10分 是否存在P,Q等价于方程（*）是否有解。

3223232①若0?t?1，则f(t)??t?t，代入方程（*）得：?t?(?t?t)(t?t)?0，

高三理科数学试题第 9 页（共7页）

42即：t?t?1?0，而此方程无实数解，从而t?1， ???????11分

∴f(t)?alnt，代入方程（*）得：?t2?alnt?(t3?t2)?0，

1?(t?1)lnt， ????????????????12分 a1设h(x)?(x?1)lnx(x?1)，则h'(x)?lnx??1?0在[1,??)恒成立，

x即：

∴h(x)在[1,??)上单调递增，从而h(x)?h(1)?0，则h(x)的值域为[0,??)。 ∴当a?0时，方程

1?(t?1)lnt有解，即方程（*）有解。 a∴对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上总存在两点P,Q，使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上。??????????14分

21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)??cosx，g(x)?2x??，数列{xn}满足：x1??(?????5??,?)， 66??g(xn?1)?(1) 当??2f(xn)(n?N*)， n?2时，求x2,x3的值并写出数列{xn}的通项公式（不要求证明）；

(2) 求证：当x?0时，?x?f'(x)?x； (3) 求证：x1?

(1)解：x2?x3??2?x2??2?x3??2???xn?1??2??(n?N*)。

?2,xn??2， ??????????????2分

(2)证明：设F(x)?f'(x)?x?sinx?x，则F'(x)?cosx?1?0，

∴F(x)在[0,??)上为减函数，即F(x)?F(0)?0，即f'(x)?x，??????4分 设H(x)?f'(x)?x?sinx?x，则H'(x)?cosx?1?0，

∴H(x)在[0,??)上为增函数，即H(x)?H(0)?0，即f'(x)??x，??????5分 ∴当x?0时，?x?f'(x)?x。 ??????????????6分 (3)由(1)知：当x?0时，|f'(x)|?|x|，

同理可证：当x?0时，|f'(x)|?|x|，即对?x?R，恒有：|f'(x)|?|x|。????7分

高三理科数学试题第 10 页（共7页）

由g(xn?1)?∴xn?1?2?1f(xn)(n?N*)得：xn?1??cosxn， n2n?2??11?1?cosxn?sin(xn?)??xn? （n?N*） ??????8分 nn2n2∴xn??2?1???1??xn?1?，xn?1???xn?2?，??，x2??x1?，

2n?2222n?12?1????， ????????????????10分

(n?1)!2从而xn??2x1??2?x2??2?x3???2???xn?1?11?1???1111???????????? ?11分 2?1!1!2!3!n!?21? ??1?1??2???n?1????

222?2? ??1?2(1?n)??????3?n?1???? ???????13分 222???2? ?3?????1???1?????5????(???,?) 2?66????xn?1?∴x1??2?x2??2?x3??2?2??(n?N*)成立。 ???????14分

高三理科数学试题第 11 页（共7页）

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