数学方法论 期末考核155550 张晶

构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明 155550 张晶

对3种数学解题方法的简单说明 一、分类讨论思想

在解题过程中，我们常常会发现，对于含有参数的题型进行到某一步骤之后就没有办法再进行统一的说明，需要对参数或者其它情况进行讨论，此时，就要用到数学中常见的分类讨论的思想，将待研究的问题分成若干个小部分，再逐一进行讨论，最终再进行整合，即“合-分-合”的解题过程。

分类讨论思想主要考查学生的逻辑分析能力，体现在很多方面，例如：函数与导数、解含参数的一元二次方程或不等式、数列等等数学大模块中都会用到分类讨论的思想。

例1 已知函数f?x??x3?ax?1，讨论f?x?的单调性.

'2解：f?x??3x?a

'①当 a?0时，f?x??0此时，函数f?x?在?-?，???上为增函数. ②当 a?0时，令3x2?a?0得x??3a;3

3a3a或x??时，f'?x??0;333a3a当??x?时，f'?x??0.33??3a??3a???因此，f?x?在???,?与?,???上为增函数??3??3??当x??3a3a??在??-3,3?上为减函数.??本题通过对参数a的讨论，通过对导函数的正负确定了函数的单调区间，是很典型也比较简单的一个分类讨论的思想的应用。 二、数形结合思想

在代数运算中，有时我们会被繁琐的计算量牵绊，而集合与代数又是互相依傍，如果能用几何的思想去解决代数的问题，那么一定会事半功倍。此时就要用到我们的数形结合思想，即将代数问题转化为几何问题，数形结合思想就是充分利用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合思想在数学中占有及其重要的地位，可分为由“数”到“形”和由“形”到“数”，而数形结合的思想往往更加侧重由“数”到“形”，以简化问题。 例

2 已知函数

f?x??|x2?4x?3|，求集合

M??x|使方程f?x??m有四个不?. 等相的实根解：在同一坐标系中做出函数y?f?x?与y?m的图像如图所示，只要使得他们的图像有四个不同的交点即可.

因此由图可知0?m?1

?M??m|0?m?1?

本题利用数形结合的思想，避免的复杂的分类讨论解含参数的方程的问题，数形结合的方便显而易见。 三、转化思想

数学中的转化比比皆是，如未知向量已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向量平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 例3 对任意m???1,1?，函数f?x??x2??m?4?x?4?2m的值恒大于零，求x得取值范围. 解：

由f?x??x2??m?4?x?4?2m??x?2?m?x2?4x?4令g?m???x?2?m?x2?4x?4.?-1,1?上，g?m?的值恒大于零由题意知在2?????g?1??x?2?x?4x?4?0???2??g?1???x?2??x?4x?4?0解得x?1或x?3故当x????,1???3,???时，对任意的m???1,1?,函数f?x?的值恒大于零.

本题通过变更主元转化为关于m的一次函数。有些含参变量的方程或不等式，参变量不易分离，或者分离出来以后求解比较困难，这时我们可以重新审视问题，将主元与参变量进行换位思考，从而简化问题的解法。

然而数学的思想方法有很多，本文中提到的只是其中很小的一部分，它们是中学数学中常见的、基本的也是最常用的几个方法，这些思想方法渗透到了各个知识点和题型中。对于教师来说，要主动地通过概念以及例题来引导学生体会这些数学思想方法，并辅助以适当的练习，最终形成自己的数学思维。

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