第六章习题 物质中的电场(6)

?r3?r2?r1

解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为

abcd???D?dS?D?2?rL??LS?2?r ??根据D??0?rE知，介质中离轴心分别为r处的电场强度为

D?? ?a?r?b?2??0?r1r??b?r?c? E2?2??0?r2r??c?r?d?E3?2??0?r3r

（2）当r分别等于a、、b、时，各层电场强度为极大值，其值为

? E1max?2??0?r1a

? E2max?2??0?r2b ?E3max?2??0?r3c

（3）当E1?E2?E3时，有

E1?111???r1r1?r2r2?r3r3

所以?r1r1??r2r2??r3r3??rr?常数时，E?常数

11、解：在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器，其元电容为

So?0?x?a?SdC?adx U其倒数为

??1adx? dC?0?x?a?S

?0?x?a?aa积分得

1aa2aa?ln?x?a?|0?lnC?0S?0Sa ?所以

xaln2?0S

C??0Saln2

极板上的自由电荷 为

qf?CU??0Ualn2

由如图虚线所示作高斯面，由高斯定理得板内的电位移矢量为

D??f?E?D?qfS??0Ualn2 ?板内的场强为

?0U?aln2??0?x?a??aln2a?0U?U?x?a?ln2

板内的极化强度为

P?D??0E??0Ualn2??x?a?ln2?0U??0U?1在x?0介质表面上，束缚电荷面密度为

1??0Ux????ln2?ax?a?ln2a?x?a?

?P0??P?0

在x?a介质表面上束缚电荷面密度为

?U?Pa?P?0介质中束缚电荷体密度为

2ln2a

?P??12、 解：由对称性和高斯定理得

当r>R1时E=0 当R1?R?R2时

?Ua?x?a??ax?0U?P??0??2?xln2a2?x?a?2?x?a?ln2

??2?D?dS?D?4?r

Q ?D?所以

34??R2?R13?r324???r3?R13?43??R2?R13?33Q?r3?R13?

QR1R2?rQr3?R13QE???33?0?r4??0?rR2?R13r24??0?rR2?R13当r?R2时

D???????R13???r?r2????

D?所以

Q4?r2

E?Q4??0r2

13、解：A、B板和B、C板各组成电容器，其电容分别为

C1??0Sd

C2??0?rSd

取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理

?S??D?dS?Q得

由D的法线连续性 D1=D2=D得

D1S?D2S?Q

Q2S

?D??再根据 D??0?rE得

QQE1?E2?2?0S2?0?rS

U1?E1d?由此可得AB之间和BC之间的电势差为

A、B极板所带电量为

QdQdU2?E2d?2?0S 2?0?rS

Q1?U1C1?B、C极板所带电量为

?0SQdQ?d2?0S2

Q2?U2C2??0?rSdQd2?0?rS?由电荷守恒定律知

A 、C板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。

14、 解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为??P，如图13-1所示。 在板内，极化电荷产生的电场强度为

Q2

EP???P?n?0??①

?为表面外法线方向上的单位矢量 式中n根据场强叠加原理，板内的电场强度为

以上三者关系如图13-2所示，由图可知

2E?EP?E02?2EPE0cos(1800?450)??②

?n??E0?P?PE?EP?E0

极化电荷电密度为

???????0(?r?1)E??0(?r?1)(EP?E0)?n? 图13-1 ?P?P?n???0(?r?1)(?p?E0cos??0??(?r?1)?p??0(?r?1)cos?

整理上式得

?r450?P??

将已知数据代入③式得

?0(?r?1)E0co?s?r ??③

E0EP8.85?10?12(6?1)E?P??200?200?102V?cos450m6 图13-2

?1.04?10?7Cm2

15、 解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得

1.04?10?721.04?10?7222E?()?(200?10)?2??200?2 8.85?10?128.85?10?12E?138.1?106?200?106?332.3?106?1.83?104Vm

在空气中

E空n?E油n在煤油中

??Aq?4??0?rh22?0

??Aq??4??0?rh22?0

D空n?D油n，即?0E空n??0?rE油n，得

ABh?qr由边界条件

q4??0?rh整理上式得

2?????qAA??（?）r22?04??0?rh2?0

??A?2）同理，B点附近的液面两边场强法向分量为

?r?1q?r?12??rh2 E空nE油n在空气中在煤油中

?h?B??4??0?rr2r2?0

?qh?B??4??0?rr2r2?0

q由边界条件D空n?D油n，得

整理上式得

??h?Bqh?B????（?）r4??0?rr2r2?04??0?rr2r2?0

q???B 3）以A点为圆心，在液面上距A为x处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显

?r?1qh??r?12??rr3

2122（x?h），小圆环面积ds?2?xdx，小圆环上极化电荷为 然r?dQ????ds?

?r?1qh?2?xdx3?r?12??rr

qhxdx?（rx?h） ?r?1qhxdx3?r?1（x2?h2）2

2322? 所以

s?r?1??r?1Q????ds???0?16、 解：（1）电容器极板上的电量为

?6?2Q?CU?900?10?900?81?10C 0

?r?1q?（??1）rr

电容器在空气中的储蓄的能量为

1Q21812?10?4W0???182.3J?62C22?900?100

能量损失为

?W?W??W0??182.2J

（2）并联后总电容为 并联后总电量为

C?C0??rC0?（1??r）C0

所以并联后电压为

Q总?2Q

2Q2?81?10?2U????600V?6C（??1）C（2?1）?900?10r0

Q总 （3）并联前的能量：

并联后的能量：

1Q21Q2W前???364.5?182.3?546.8J2C02?rC0

11CU2?（1??r）C0U222 1?（1?2）?900?10?6?6002?486J2

W后?并联过程中的能量损矢为

?W?W后?W前?486?546.8??60.8J

4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。 17、

解：（1）t?0时刻，极板上的电量仍然为Q，由高斯定理知，此时板内电位移矢量为

D???电场强度为

QS

E?D（2）由欧姆定理的微分形式知，t时刻有

?0?r?Q?0?rS

j??E

dqII?j?dt S，而其中

所以

S?Qd?r??QIq???S?0?rS

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