一元二次不等式恒成立问题的求解策略

一元二次不等式恒成立问题的求解策略

许昌县二高 杨怀民

含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一.下面结合例子，介绍几种常用的求解策略.

1.利用一元二次不等式的判别式求解 代数式ax2＋bx＋c>0的等价条件是

?a>0，?a＝b＝0，??

?或? 2?c>0?Δ＝b－4ac<0.??

kx2＋kx＋6例1 已知不等式2>2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围.

x＋x＋217x＋?2＋>0. 解 ∵x2＋x＋2＝??2?4

∴原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4， 即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0. 当k＝2时，2>0，结论显然成立； 当k≠2时，k满足不等式组

??k－2>0，

?解得2

?Δ＝?k－2?－4×2?k－2?<0，?

综上所述，k的取值范围是2≤k<10.

2.转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解

一般地，f(x)≥a，x∈D恒成立?f(x)min≥a，x∈D恒成立；f(x)≤a，x∈D恒成立?f(x)max≤a，x∈D恒成立.

例2 已知不等式sin2x－2asin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 解 设f(x)＝sin2x－2asin x＋a2－2a＋2， 则f(x)＝(sin x－a)2＋2－2a.

当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立∴a<－1. 当－1≤a≤1时，f(x)在sin x＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1， ∵－1≤a≤1，∴－1≤a<1.

当a>1时，f(x)在sin x＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，∵a>1，∴a>3.

综上所述，a的取值范围为a<1或a>3. 3.利用直线型函数图象的保号性求解

函数f(x)＝kx＋b，x∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x轴上方的等价条件是

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???f?α?>0，?f?α?<0，?此线段恒在x轴下方的等价条件是?此线段与x轴有交点的等价条件是?f?β?>0；???f?β?<0；

f(α)·f(β)≤0.

例3 已知当x∈[0,1]时，不等式2m－10，x∈[0,1]恒成立

?1－2m>0，?f?0?>0，??????2?m<0. ??m－2m>0f?1?>0??

4.分离参数后，利用基本不等式求解

如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f(x)≥a?a≤f(x)min或f(x)≤a?a≥f(x)max求解.

例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，当x∈[－1,1]时，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范围. 解 不等式f(x)>a?x2＋ax＋3>a ?x2＋3>a(1－x)，x∈[－1,1]. ∵－1≤x≤1，∴0≤1－x≤2.

当x＝1时，1－x＝0，x2＋3>a(1－x)对一切a∈R恒成立；当x≠1时，0<1－x≤2，则x2＋3a<. 1－x

x2＋3?1－x?2－2?1－x?＋4∵＝ 1－x1－x4＝(1－x)＋－2≥2

1－x

4

?1－x?·－2＝2.

1－x

4

当且仅当1－x＝，即x＝－1时，取到等号.

1－x

?x＋3?＝2.从而a<2. ∴???1－x?min

综上所述，a的取值范围为a<2.

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