2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）(4)

由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0， 同理，有

∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y∴m+n=

，mn=

，

，

t﹣（x0+1）=0的两根，

∴|MN|=|m﹣n|==，

∵

，|y0|=2

，

∴|MN|==2，

直线PF的斜率，则k=||=，

∴==，

∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增， ∴

，

∴，

∴0＜∴

＜．

的取值范围是（0，）．

21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．

（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ） 若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：

．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；

（Ⅱ）得到ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；

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（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．

【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x， 则

．…1分

令f'（x）=0，得x=0．

当x＜0时，f'（x）＜0； 当x＞0时，f'（x）＞0．…2分

∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增． ∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分 （Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1， 即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*） 令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1， 则

．

①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x． ∴

∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增． ∴g（x）≥g（0）=0． ∴（*）式成立．…5分 ②若a＜﹣2，令

，

．…4分

则

∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增． 由于φ（0）=2+a＜0，

．

．…6分

故?x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分

则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0． ∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．

∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分 综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，

g（x）=ex﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增． 则

，即

．…10分

∴∴

．…11分 ，即

．…12分．

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四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F． （Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；

（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．

【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；

（Ⅱ）由割线定理：EC?EB=ED?EA，且AE=9，得【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC， ∵BC=CD，

∴∠CAB=∠CAD．…1分 ∵AB是圆O的直径， ∴OC=OA．

∴∠CAB=∠ACO．…2分 ∴∠CAD=∠ACO． ∴AE∥OC．…3分 ∵CF⊥AE，

∴CF⊥OC．…4分

∴CF是圆O的切线．…5分

（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°，即AC⊥BE． ∵∠CAB=∠CAD， ∴点C为BE的中点． ∴BC=CE=CD=4．…6分

由割线定理：EC?EB=ED?EA，且AE=9．…7分 得

．…8分

，利用勾股定理求CF的长．

在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点． ∴

．…9分

在Rt△CFD中，．…10分

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∴CF的长为．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数）．以点O为极

=

．

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+

=

，得

（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得

，，点

（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为Q到直线l的距离为d=

．利用三角函数的单调性值域即可得出．

解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为∴曲线C的直角坐标方程为由ρsin（θ+

=

，得

．

，

（θ为参数）可得

，

化简得，ρsinθ+ρcosθ=2， ∴x+y=2．

∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．

（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为点Q到直线l的距离为

=

．

，

当时，．

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∴点Q到直线l的距离的最大值为．

解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，

，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，

由

令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0， 解得m=±2．

∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0． ∴两条平行直线l与l'之间的距离为∴点Q到直线l的距离的最大值为

[选修4-5：不等式选讲]

．

．

24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）． （Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值． 【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7； ①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4； ②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；

③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3； ∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）； （Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8； ∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3； 又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R； ∴a+8≤3，即a≤﹣5； ∴a的最大值为﹣5．

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2016年10月6日

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