复变函数试题与答案(3)

复变函数测验题

二、填空题

1．设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则2zdz?

c?z2?3z?22．设c为正向圆周z?4?1，则?dz?

c(z?4)2sin(?)2d?,其中z?2，则f?(3)? 3．设f(z)????2??z4．设c为正向圆周z?3，则

??cz?zdz? zez5．设c为负向圆周z?4，则?dz? 5c(z??i)6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

7．设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有么f(z)在B内

8．调和函数?(x,y)?xy的共轭调和函数为

9．若函数u(x,y)?x?axy为某一解析函数的虚部，则常数a32?f(z)dz?0，那

c?

10．设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为 三、计算积分 1.

6zdz,其中R?0,R?1且R?2; ?2z?R(z?1)(z?2)dz． ?42z?2z?2z?22.

四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1?f(z)?1(x?B).试证 １．在B内处处有f(z)?0；

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复变函数测验题

２．对于B内任意一条闭曲线c，都有

?cf??(z)dz?0 f(z)z?a?r五、设f(z)在圆域z?a?R内解析，若maxf(z)?M(r)(0?r?R)，

则f(n)(a)?n!M(r)(n?1,2,?). nr?ezdz，从而证明?ecos?cos(sin?)d???. 六、求积分?0zz?1七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限

f(z)dz并由此推证f(a)?f(b)（刘维尔Liouville定理）.

R????(z?a)(z?b)z?Rlim八、设f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2，试计算积分

z?1?(z?1)2f(z)dz2z并由此得出

?2?0cos2?2f(ei?)d?之值.

九、设f(z)?u?iv是z的解析函数，证明

?2ln(1?f(z))?x222??2ln(1?f(z))?y222?4f?(z)222(1?f(z)).

十、若u?u(x?y)，试求解析函数f(z)?u?iv.

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复变函数测验题

第四章级数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?(3?4i)n1?3in（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ?（D）?

nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?(?1)ni1i（B） ?(1?)（B）?[?n]

nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)?（D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛（B）条件收敛 （C）发散（D）不能确定 5．设幂级数

?cnz,?ncnznn?0n?0??n?1和

cnn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则z?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3（D）R1?R2?R3

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复变函数测验题

?6．设0?q?1，则幂级数

?qn2zn的收敛半径R?( )

n?0（A）q （B）

1q（C）0 （D）?? ??sinn7．幂级数

?2(z)nn?1n2的收敛半径R?( ) （A） 1（B）2（C）2（D）??

?8．幂级数?(?1)nzn?1n?0n?1在z?1内的和函数为

（A）ln(1?z)（B）ln(1?z)

（D）ln11?z (D) ln11?z ez??9．设函数cosz的泰勒展开式为?cnnz，那么幂级数n?0?cnnz的收敛半径R?( )

n?0（A）??（B）1（C）

?2（D）?

10．级数

1?1?1?z?z2z2z??的收敛域是( ) （A）z?1（B）0?z?1（C）1?z???（D）不存在的

11．函数

1z2在z??1处的泰勒展开式为( ) ??（A）

?(?1)nn(z?1)n?1(z?1?1)（B）n?1?(?1)n?1n(z?1)n?1(z?1?1)n?114

复变函数测验题

（C）??n(z?1)n?1?n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1?(z?1?1)

12．函数sinz，在z?

??2

处的泰勒展开式为( )

(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

(z??2???)

(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)

(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

n????cn(z?z0)n，c为H内

绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么

f(z)?c(z?z0)2dz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2（D）2?if?(z0)

??3n?(?1)n,n?0,1,2,?14．若cn??，则双边幂级数?cnzn的收敛域为( ) n4,n??1,?2,?n????（A）

11?z? （B）3?z?4 4311?z???（D）?z??? 431在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么m?z(z?1)(z?4)15

（C）

15．设函数f(z)?

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