实变函数(复习资料,带答案)(2)

A

二、1，?0,2? 2，c ；0 ；? 3， ? 4，设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??。

5，对任意??0,???0，使对?a,b?中互不相交的任意有限个开区间?ai,bi?,i?1,2,?,n,只要??bi?ai???，就有

i?1n3．错误。例如：取E?(0,??),作函数列：

?1,x?(0,n]fn(x)??n?1,2,?

0,x?(n,??)?显然fn(x)?1,当x?E。但当0???1时，

E[|fn?1|??]?(n,??)

且m(n,??)???这说明fn(x)不测度收敛到1.??5分

?|F(b)?F(a)|??

iii?1n??xcos,0?x?1,?4．错误??2分例如：f(x)??显然是?0,1?的2x??0,x?0.连续函数。

如果对?0,1?取分划T:0?2nn三、1．错误 记(0,1)中有理数全体

??(0)?r1??(1)?r?2 R?{r1,r2,?}???(rn)?rn?2,n?1,2??1]中无理数，??(x)?x,x为[0，1111??????1，则容易证2n2n?13211明?|f(xi)?f(xi?1)|??，从而得到V(f)???5分

0i?1i?1i四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集????3分

因为f(x)是有界可测函数，所以f(x)在?0,1?上是L?可积的???.6分

因为f(x)与xa.e.相等, 进一步，?f(x)dx??xdx?0,10??1显然?是[01]，到（0，1）上的1?1映射。?????5分 2．正确?设Ei为零测度集， 0?m(?Ei)??m*E?0，所以，

*i?1i?1??m*(?Ei)?0因此，?Ei是零测度集。?????5分

i?1i?1??1?82（第6页，共15页）

分 2设fn(x)?nxsin3nxdx，则易知当n??时，221?nx又因m*(G?E)?m*(Gn?E)?1对一切正整数n成立，因而nm*(G?E)?0，即M?G?E是一零测度集，所以也可测.??????5分

由E?G?(G?E)知，E可测。??????6分 3、易知g(x)?V(f)是?a,b?上的增函数?????2分

axfn(x)?0??????2分 又|fn(x)|?nx??????4分

1?n2x2但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的???6分 故有lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0??????8分

n00n??令h(x)?g(x)?f(x), 则对于a?x1?x2?b有

h(x2)?h(x1)?g(x2)?g(x1)?[f(x2)?f(x1)]五、1．?x?E,f(x)?c????????..1分

?f(x)在x点连续，?对??f(x)?c?0,?U(x,?),当

y?U(x,?)时，

?V(f)?[f(x2)?f(x1)]?|f(x2)?f(x1)|?[f(x2)?f(x1)]?0x1x2

所以h(x)是?a,b?上的增函数?????4分

因此f(x)?g(x)?h(x)，其中g(x)与h(x)均为?a,b?上的有限

有f(y)?f(x)?????????3分

??f(x)?c?f(y)?f(x)?f(x)?c?f(y)?c，?y?E?5分

增函数??.6分

4、因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的k?Z?，存在可测集Ek?E，fn(x)在Ek上一致收敛于

f(x)，且m(E\\Ek)?*?因此U(x,?)?E，从而E为开集?????..6分 2．对任何正整数n，由条件存在开集Gn?E,使

m*(Gn?E)??1?1分 n1???3分 k令G??Gn，则G是可测集?????3分

n?1令E??Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)???5分

k?1（第7页，共15页）

1m(E\\E)?m(E\\?Ek)?m(E\\Ek)?，k=1,2?

kk?1*?一、单项选择题（3分×5=15分）

11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??所以m(E\\E*)?0????????8分

5、证明：设en?E[|f|?n],由于f(x)在E上a.e.有限，故

n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??men?0,(n??)?.2分

由积分的绝对连续性，对任何???0,?N，使

N?meN??|f(x)|dx?eN2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D)

mE?1

3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测

'o?4???4分

令BN?E\\eN，在BN上利用鲁津定理，存在闭集FN?BN和在

R1上的连续函数?(x)使（1）m(BN\\FN)?x?R1x?FN;（2）x?FN时，

4N4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且

f(x)??(x)，且sup|?(x)|?sup|f(x)|?N???6分

?所以

mE1???，则有（ A ）

BN?ba|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dxeNeNeNBN\\FN??|f(x)|dx??|?(x)|dx???|f(x)??(x)|dx???

??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n?????（C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n???4?N?meN?2N??4N??4??4??2??...8分

5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ） (A) f(x)在[a,b]上的一致连续函数 (B) f(x)在[a,b]上处

（第8页，共15页）

《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）

处可导（C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) f(x)是有界变差函数

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设集合N?M，则M?(M?N)?______N____

mP?_0____，P=-2、设P为Cantor集，则 P? c ，

o11反例：设Gn=( ?1?,?1? ),n=1,2,?, 每个Gn为开集

nn但 ?Gn?[?1,1]不是开集. 5分

n?1?2、若mE?0，则E一定是可数集.解：不成立 反例:设E是

Cantor集，则mE?0， 但E?c ， 故其为不可数集 .5分

___?_____。

3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有

___m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)_______，则称E是L可测的

4、叶果洛夫定理：设m(E)??,{fn}是E上一列a.e.收敛于个

则对任意??0,存在子集a.e.有限的函数f 的可测函数，

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 ?2分

?1,x?(0,n]例如：取E?(0,??),作函数列：fn(x)??n?1,2,?

0,x?(n,??)?显然fn(x)?1,当x?E。但当0???1时，

E[|fn?1|??]?(n,??)

且m(n,??)???这说明fn(x)不测度收敛到1 ?5分 4、连续函数一定是有界变差函数。

解：不成立 2分

E??E，使{fn}在E?上一致收敛且m(E\\E?)??。 5、设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积的 充要 条件是|f(x)|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)

1、任意多个开集之交集仍为开集。 解：不成立 2分

???xcos,0?x?1,例如：f(x)??显然是?0,1?的连续函数。 2x??0,x?0.如果对?0,1?取分划T:0?2nn1111??????1，则容易证2n2n?13211明?|f(xi)?f(xi?1)|??，从而得到V(f)?? ??5分

0i?1i?1i（第9页，共15页）

四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R??0,x为有理数x?[0,1],n?1,2,? ???.6分

可积，是否L?可积，若可积，求出积分值。

解：f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?0处连续，即不连续点为正测度集 ??..3分 因为f(x)是有界可测函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的 ?6分

因为f(x)与x2a.e.相等，进一步，

1?

且?x2在[0,1]上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 2lim(R)?fn(x)dx?lim?n??0n??11nx3sinnxdx??00dx?0 .801?n2x21121

分

五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体Q?{r1,r2,?},令

??(0)?r1??(1)?r?2?(x)??

?(r)?r,n?1,2?n?2?n?1]中无理数，??(x)?x,x为[0，??0,1?1f(x)dx??x2dx? ?8分

0312、求极限 lim?n??nxsin3nxdx 2201?nx11212解：记fn(x)?nx3sinnx 221?nx显然?是[01]，到（0，1）上的1?1映射 ??5分 所以(0,1)~[0,1] ??6分

2、（6分）设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数 c，E?{x|f(x)?c} 是一开集.

1则fn(x)在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积. ?????..2分

又 limfn(x)?0,x?[0,1] ??4分

n??nxnx1?23|fn(x)|?|sinnx|?||??x 222221?nx1?nx1212证明: ?x0?E,即f(x0)?c. ?.1分

（第10页，共15页）

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