光学习题课

光 学 习 题 课

2004.5.10

壹. 内容提要

一．光的干涉

1．相干条件：与波的相干条件相同(略)． 2．光程=nl，光程差 ?=n2l2-n1l1； 理想透镜不产生附加光程差；

半波损失：光从疏媒质向密媒质入射时，在反射光中产生半波损失；折射光不产生半波损失；半波损失实质是位相突变?． 3．明纹、暗纹的条件：

明纹 ?=?2k?/2，k=0,1,2,…；

暗纹 ?=?(2k－1)?/2，k=0,1,2,…． 4．分波阵面法(以杨氏双缝干涉为代表)： 光程差 ?=nxd/D

明纹坐标 x=?2k(D/d)?/(2n)

暗纹坐标 x=?(2k－1)(D/d)?/(2n) 条纹宽度 ?x=(D/d)(?/n)

5.分振幅法(薄膜干涉，以n1n3为例) (1)光程差：

反射光 ?r=2n2ecosr+?/2

=2e(n22?n12sin2i)1/2+?/2

透射光 ?t=2n2ecosr=2e(n22?n32sin2r’)1/2 (2)等厚干涉(光垂直入射，观察反射光)： 相邻条纹(或一个整条纹)所对应薄膜厚度差

?e=?/(2n)

劈尖干涉 条纹宽度 ?l=?/(2n?) 牛顿环的条纹半径

明纹 r=[(k?1/2)R?/n]1/2 (k=1,2,3,…) 暗纹 r=(kR?/n)1/2 (k=0,1,2,3,…) (3)等倾干涉(略)． (4)迈克耳逊干涉仪：M1与M '2平行为等倾条纹，此时如动镜移动?/2，则中心涨出或陷入一个条纹；M1与M '2不严格平行为等厚条纹，此时如动镜移动?/2，则条纹平行移动一个条纹的距离．

1

二．光的衍射

1．惠更斯—费涅耳原理 (1)子波，(2)子波干涉． 2．单缝衍射 半波带法

中央明纹：坐标 ?=0， x=0；

宽度 ?? 0?2?/a， ?x?2?f/a

其他条纹：暗纹角坐标?满足 asin?=?k? 明纹角坐标?近似满足 asin???(2k+1)? 条纹宽度 ????/a ?x??f/a 3．光栅(多光束干涉受单缝衍射调制) 明纹明亮、细锐

光栅方程式 (a+b)sin?=?k? 缺级 衍射角?同时满足

(a+b)sin?=?k? asin?=?k '?

时，出现缺级，所缺级次为

k=k ' (a+b)/a．

4．园孔衍射

爱里斑角半径 ?=0.61?/a=1.22?/d 光学仪器的最小分辩角

??=0.61?/a=1.22?/d

5．x射线的衍射

布喇格公式 2dsin?=k?

三. 光的偏振

1．自然光、偏振光、部分偏振光；偏振片，偏振化方向，起偏、检偏．

2．马吕期定律 I=I0cos2?． 3．反射光与折射光的偏振

一般情况：反射光为垂直入射面振动大于平行入射面振动部分偏振光，折射光为垂直入射面振动小于平行入射面振动部分偏振光． 布儒斯特定律：当入射角满足tgi0=n2/n1，即反射光与折射光相互垂直时，反射光为垂直

入射面振动的完全偏振光，折射光仍为部分偏振光．

4、双折射：寻常光线(o光)满足普通折射定律，为垂直自己主平面的偏振光；非常光线(e光)不满足普通的折射定律，为平行自己主平面的偏振光．

双折射晶体的光轴，主截面、主平面． 5、旋光现象：偏振面旋转的角度 旋光溶液中 ??=?Cl 旋光晶体中 ??=?l (?为旋光系数,C为浓度)．

贰. 练习二十二至练习二十八答案及简短解答

练习二十二 光的相干性

双缝干涉 光程

一.选择题C D D B A 二.填空题 1. 2?dsin? /?.

2. 2?(n?1)e/?; 4×104. 3. D?/(nd). 三.计算题

1.明纹坐标 xk=kD?/a

同级明纹中心之间的距离 ?xk= kD??/a 第一级彩色明纹宽度 ?x1= D??/a=0.72mm 第五级彩色明纹宽度 ?x5= 5D??/a=3.6mm

2.(1) 明纹坐标 xk=kD?/a

?x=xk2?xk1=(k2?k1)D?/a=20D?/a=0,11m (2) 零级明纹即光程差为零的明纹,玻璃片覆盖上一条缝后,有

三.计算题

1.因相干加强,n1?n2?n3,光垂直入射,有

?=2ne+?/2=k? ?=4ne/(2k?1)

k=1 ?=30000 ? 红外光 k=2 ?=10000 ? 红外光 k=3 ?=6000? 可见光 k=4 ?=4286? 可见光 k=5 ?=3333? 紫外光 故在可见光范围内,最大限度增强的反射光波长为 ?=6000? ?=4286?.

2.相邻条纹膜厚差为 ?e=?/(2n) 相邻明纹间距 l=?e/?=?/(2n?) 折射率变化时,相邻明纹间距的变化为

?l= l1?l2= [?/(2?)](1/n1?1/n2)

故 ? =[?/(2?l)](1/n1?1/n2)=1.7×10?4rad

?= r2?[r1+ (n?1)e]=0

r2?r1=(n?1)e

不覆盖玻璃片时 r2?r1= k? 有 (n?1)e= k?

故玻璃片覆盖一缝后,零级明纹移至原来明纹的级次为 k= (n?1)e/?=6.96～7

练习二十四 牛顿环 迈克耳逊干涉仪 衍射现象

一.选择题 B C C D A 二.填空题 1. 5391. 2. 0.5046.

3. 2(n?1)h. 三.计算题

1. 设反射光牛顿环暗环半径r,不含e0对应空气膜厚r2/(2R),故r处空气膜总厚为

e=r2/(2R)+e0

2

练习二十三 薄膜干涉 劈尖

一.选择题 A B C D B 二.填空题 1. 1.40. 2. ?/(2L). 3. 5?/(2n?).

光垂直照射，相干减弱，有

?=2e+?/2=r2/R+2e0+?/2=(k+1/2)?

得牛顿环的各暗环半径

r=[(k??2e0)R]1/2 (k≥2e0/?的整数)

四.证明题

1.反射光牛顿环暗环半径r处空气膜厚为 e=e1?e2=r2/(2R1)?r2/(2R2)

光垂直照射，相干减弱，有

?=2e+?/2= r2/R1?r2/R2+?/2=(k+1/2)? 得牛顿环的各暗环半径

r=[k?/(1/R1?1/R2)]1/2=[k?R1R2/(R2?R1)]1/2

(k为大于等于零的整数)

1. 916. 2. 1.

3. 0,±1,±3,±5…. 三.计算题 1. d=1×10?3/500=2×10?6m=2×104 ? 由光栅方程式 dsin?=k? 知 ?=arcsin(k?/d)

k=2 ?1=5890 ? ? 1=36.086° k=2 ?2=5896 ? ? 2=36.129° 故两谱线分开的角度 ??=? 2?? 1=0.043°

2.(1) 单缝衍射中央明纹半角宽度? 1满足

asin? 1=?

中央明纹宽度 ?x=2ftg? 1≈2f?/a=0.06m (2) d=1×10?2/200=5×10?5m

宽度?x内主极大衍射角? 应满足 ?＜? 1, 即 sin?＜sin?1??/a 由光栅方程式 dsin?=k? 得 sin?=k?/d＜?/a

k＜d/a=2.5

取k=2，所以在单缝衍射中央明纹宽度内, 有k=0,±1,±2等5条光栅衍射主极大.

练习二十五 单缝 圆孔 光学仪器的分辨率

一.选择题 B D D C A 二.填空题

1. 子波；子波干涉.

2. 1×10?6.

3. 4； 第一； 暗. 三.计算题

1. 单缝衍射暗纹角坐标?满足

asin?k=k? (k=±1, ±2, ±3,…) 线坐标 xk=ftg?k≈fsin?k=fk?/a 第二级与第三级暗纹间距?x= x3? x2= f?/a 得透镜焦距 f=a?x/?=400mm

四.问答题

1．单缝衍射暗纹角坐标?满足

asin?=k? (k=±1,±2,±3,…).

a很大时,较小的?对应很大的k值.这说明大量条纹挤在中央明纹附近,根本分辨不清.更大级次条纹的光强太弱,与黑暗连成一片.这样就观察不到衍射条纹.

练习二十七 光的偏振

一.选择题 A C B D C 二.填空题

1. 遵守普通的折射;不遵守普通的折射. 2. 见图.

i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e光

... ... 光轴 o光

练习二十六 光栅 X射线的衍射

一.选择题 A D C D B

二.填空题

3

3. ??=? l. 三.计算题

1. 设入射光中线偏振光光矢量方向与P1的偏振化方向的夹角为?，透过P1的光强为 I1=(1/2)( I0/2)+( I0/2)cos2? =(I0/2)(1/2+cos2?) 透过P2的光强为

I2=I1cos230°=(3I0/8)(1/2+cos2? ) 因I2/I0=9/19,有

(3/8)(1/2+cos2? )=9/16 1/2+cos2?=3/2 cos2?=1

所以 ?=0

即入射光中线偏振光光矢量方向与偏振片P1的偏振化方向平行.

四.问答题

1.可用布儒斯特定律测不透明介质的折射率.其原理如下：将不透明介质的表面加工成一光学平面，将一束自然光自空气入射到此表面上.用一偏振片检测反射光是否为线偏振光.不断改变入射角,直至反射光为线偏振光,测出此时的入射角i0.再依布儒斯特定律

tgi0=n2/n1,

得出 n=n2=n1tgi0=tgi0 此n即为不透明介质的折射率.

2. 5.

3. 60°;9I 0/32. 三.计算题

1.(1) 单缝衍射明纹角坐标?满足 asin?k=(2k+1)?/2 (k=±1, ±2, ±3,…) 线坐标 xk=ftg?k≈fsin?k=f(2k+1)?/(2a) 两光第一级明纹间距

?x=x2?x1=3f(?2??1)/(2a)=2.7×10?3m (2) 光栅方程式 dsin?=k?

xk=ftg?k≈fsin?k=fk?/d

两光第一级明纹间距

?x=x2?x1=f(?2??1)/d=1.8×10?2m

2.时刻t第二偏振片偏振化方向和第一偏振片偏振化方向间夹角为?=?t,光先后通过三个偏振片后的光强为

练习二十八 光学习题课

一.选择题 A C B D B 二.填空题 1. 900.

I1= I0/2

I2= I1cos2?= (I0/2) cos2?t

I=I3=I2cos2(?/2??)=(I0/2)cos2?tsin2? =(I0/2)cos2?tsin2?t=(I0/2)[(sin2?t)/2]2

= I0(1?cos 4? t )/16

叁. 课堂例题

一.选择题

1. 如图3.1所示，折射率为n2 、厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1和n3，已知 n1 ＜n2 ＞n3，若用波长为?的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束（用①②示意）的光程差是

(A) 2n2e.

(B) 2n2e－?/(2 n2 ). (C) 2n2e－?. (D) 2n2e－?/2.

t1 2. 如图3.2所示，s1、s2是两个相干光源，它们到P点s1 n1 的距离分别为r1和 r2，路径s1P垂直穿过一块厚度为t1，折s2 射率为n1的介质板，路径s2P垂直穿过厚度为t2，折射率为n2的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程

4

① ② ? n1 n2 e n3 图3.1

r1 t2 n2 r2 图3.2

P 差等于

(A) (r2 + n2 t2)－(r1 + n1 t1). (B) [r2 + ( n2－1) t2]－[r1 + (n1－1)t1]. (C) (r2 －n2 t2)－(r1 －n1 t1). (D) n2 t2－n1 t1. 3. 如图3.3所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e，并且n1＜n2＞n3，?1 为入射光在折射率为n1 的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为

n1 ? (A) 2 ? n2 e / (n1 ?1 ).

n2 e (B) 4 ? n1 e / (n2 ?1 ) +?.

n3 (C) 4 ? n2 e / (n1 ?1 ) +?.

图3.3

(D) 4? n2 e / (n1 ?1 ).

4. 在如图3.4所示的单缝夫琅和费衍射实验装置中，s为单缝，L为透镜，C为放在L的焦面处的屏幕，当把单缝s沿垂直于透镜光轴的方向稍微向上平移时，屏幕上的s L C 衍射图样

(A) 向上平移. (B) 向下平移. 图3.4 (C) 不动.

(D) 条纹间距变大.

5. 在光栅光谱中,假如所有偶数级次的主极大都恰好在每缝衍射的暗纹方向上,因而实际上不出现,那么此光栅每个透光缝宽度a和相邻两缝间不透光部分宽度b的关系为

(A) a = b. (B) a = 2b. (C) a = 3b. (D) b = 2a. 二.填空题

1. 光的干涉和衍射现象反映了光的 性质, 光的偏振现象说明光波是 波.

2. 牛顿环装置中透镜与平板玻璃之间充以某种液体时,观察到第10级暗环的直径由1.42cm变成1.27cm,由此得该液体的折射率n = .

3. 用白光(4000?～7600?)垂直照射每毫米200条刻痕的光栅,光栅后放一焦距为200cm的凸透镜,则第一级光谱的宽度为 .

三.计算题

1. 波长为500nm的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上，在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边 l = 1.56cm的A处是从棱边算起的第四条暗条纹中心.

(1) 求此空气劈尖的劈尖角? .

(2) 改用600 nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹,A处是明条纹，

5

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