吉林大学2006级本科《离散数学II》试题(A)

一、综合题（每题3分，共30分）

1． 有限群中消去律是否成立，无限群呢？

2． 设M={1,2,3,4,5,6,7,8}。已知(1 2 3)=(1 2)(a b)(1 3)(c d)，试求对换(a b)和(c

d)。

3． 设（L，×，⊕）和（S，?，?）是两个格，若f是L到S的同态映射，则f

一定是保序映射么？如果g是L到S的保序映射，g一定是同态映射么？

GG4． 设H1和H2都是有限群G的正规子群。若H1?H2，则是否成立？ ?H2H15． 3x ? 1 (mod 14)有解吗？若有，请给出该方程的解。 6． 设R是一个环，S是R的子环。若R有壹，则S是否一定有壹？若S有壹，

则R是否一定有壹？

7． 设D是集合S上的整除关系，以下部分序集是否是格？

(1) S={2, 4, 6, 8, 12, 24, 48} (2) S={2, 3, 6, 12, 24, 36}

8． 循环群的子群是否一定是正规子群？无限循环群的子群是否一定是无限循

环群？

9． 设f是代数系统(A, *)到(B, ?)的同态映射，如果(A, *)半群，则同态象(f(A), ?)

也一定是半群么？如果f是满射，(B, ?)也一定是半群么？

10． 设L是格，S?L。如果(S,?)是(L,?)的子格，则(S,?,?)也一定是(L,?,?)的子格吗？

二、计算题（每题5分，共20分）

1． 设G是4次对称群，H是由{I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}作成的子群，求H的所

有右陪集。

2． 设G={1，5，7，11}，(G , ?12)为群，其中?12为模12的乘法，请给出所有

元素的周期和逆元，以及（G , ?12）的真子群的个数。 3． 在R7中求多项式x+3除3x5-2x4+4x3-5x+1的商式和余式。

4． 设Z18={0, 1, 2, …, 17}，(Z18, ?18, ?18)是模18的整数环，?18和?18分别为模

18的加法和乘法。写出Z18的所有极大理想及其所对应的剩余环。

三、(10 分) 设(R, +, ?)是环，如果半群(R , ?)中的每个元素都是等幂元，即对任意的a?R，都有a?a=a。证明：(R, +, ?)是交换环。

四、(10 分) 设(L, ?)为格，与之等价的代数格为。 (1) 任取a,b,c,d?L，若a?b，c?d，证明：a?c?b?d，a?c?b?d； (2) 任取a,b?L，且a?b。令S={x|x?L且a?x?b}。证明：< S, ? >是< L, ? >的子格。

五、(15 分) 证明或者反驳：

(1) (8分)f(x)= x5?3x2?7在R0上不可约； (2) (7分)f(x)= x5?2x2+10在R0上不可约。

六、(10 分) 构造一个9元域并写出其运算表（给出含主对角线的上三角即可）。

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七、(5 分) 设Zn={0, 1, 2, …, n-1}，(Zn ,?n)为模n加法群。证明：(Z4 ,?4)到(Z5 ,?5)之间仅有一种同态映射。

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