染色问题

高中数学竞赛讲座二试内容19

染色问题 （一）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常

见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等． 二．例题精选

（一）．k染色平面问题

将平面上的点用不超过k种颜色给每一个点染一种颜色，这样的平面叫做k染色平面．

１．坐标平面上若干个整点，将一些整点染红色，一些染蓝色，证明：总可以有一种染法使每行、每列两

种颜色点数之差不超过１．

R B R R B B R B B R B R B R R B R B R B

R B R B R

B R B R B

２．对于任意的a>0，二染色平面上必存在斜边长为a且内角分别为30?,60?,90?的三顶点同色的三角形．

B B

Ｒ a Ｒ

３．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，

B B 它们相似比为１９９５，而且每个三角形的三个顶点同色．

1

B B R RR R R O B

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４．求证：二染色平面上，一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点同色．（若用三染色平

Ａ(R) 面呢？） 11

（二）．平面图形的染色问题

Ｆ(R) 133Ｂ(W)3113Ｅ(B)

Ｄ(W) Ｃ(B) 31111Ｇ(R) ５．已知⊿ABC为正三角形，G为三条线段AB、BC、CA（包括A、B、C）上的所有点

的集合，将G中的一些点染上黑色，其余点染白色，试证：至少存在一个正三角形 ABC的内接直角三角形，三顶点是同色的． 关键：在AB,BC,CA上取点D,E,F,且ADDB?BFFC?CEEA?2

A（W）

E（B）

D（W） C（W）

则D，E，F必有两点同色，不妨设为E，F同为黑色，

若BC上还有黑色点，命题的证．否则ＢＣ上除点Ｆ全

Ｂ（W） 为白色点，若ＡＢ上有白色点，得证．否则ＡＢ上全为 黑色点，则Ｅ在ＡＢ上的射影Ｇ为黑色点，再在ＡＢ上取 另一点Ｈ，则三角形ＦＧＨ是直角三角形．

F（B） ６．正九边形的一些顶点染上白色，另一些染上黑色．证明：存在两个全等的三角形，每一个三角形的顶

点染有同一颜色．

解：九个顶点中至少有5个顶点颜色相同，设为白色，5个白色顶点能构成10个顶点同为白色三角形，然

后绕正九边形中心旋转，每次旋转

2k?9(k?0,1,?,8)，上述

10个三角形，9次旋转后构成90个三角

形。但正九边形顶点仅能构成C92个不同三角形，因此存在某两个白色，在不同的旋转过程中与某一个三角形重合，则两个白色三角形全等．

７．设圆周上有2n(n?N)个点，将其中n点染成红色，其余n点均染蓝色，则存在n

条该圆的互不相交的弦，每条弦两端分别为上述２n个点中的不同颜色的两点． 证明：若某一组长度和最小的n条线段中，存在相交的两端异色的两弦，设他们为 A1B1,A2B2,且A1,A2为红色点，B1，B2为蓝色点，A1B1?A2B2?O，则

A1B1?A2B2?A1B2?A2B1,而A1B2，A2B1也为两端异色的弦，，故若把前面n条弦中的

2

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A1B1，A2B2换成A1B2，A2B1所得的

n条弦的长度之和变小，矛盾．

８．在正６n＋１边形中，将k个顶点染成红色，其余顶点染成蓝色．证明：具有同色

顶点的等腰三角形数目不依赖于染色方法．

解：称端点同色的线段为同色线段，否则为异色线段；三顶点同色的同色的等腰三角形为同色，三顶

点异色的等腰三角形为异色等腰三角形．则有

同色等腰三角形的个数＋异色等腰三角形的个数＝等腰三角形的个数＝定值． 由已知对每一条线段，以它为边的等腰三角形恰有３个， 每个异色等腰三角形恰有两条异色线段，则

异色等腰三角形的异色边数之和＝异色等腰三角形的个数×２ ＝异色线段数×３ 故异色三角形的个数＝

32?11异色线段的条数＝Ck． C6n?1?k（为定值）

32９．已知若干红点和若干蓝点，将它们的某些点连成线段．如果在与Ｐ点相连的点中，

与Ｐ点颜色不同的点多于一半，则称Ｐ点为＂奇点＂，若点Ｐ为＂奇点＂，则改变 Ｐ点的颜色，证明：经过有限次这样的操作，一个＂奇点＂也没有．

关键：若Ｐ为奇点，则与Ｐ点相连的点中，与Ｐ点异色的点多于与Ｐ点同色的点，改变Ｐ点颜色后，这组

与Ｐ点相连的点中，与Ｐ点同色的点就多于与Ｐ点异色的点，这一次变化使得与Ｐ点相连的两端异色的线段至少减少一条，即每次操作使整个图形中两端异色的线段至少减少一条．而原来两端异色的线段只有有限条，所以这样的操作只要操作有限次便会使奇点消失．

（三）空间图形的顶点染色问题

１０．设在空间给出２０个点，其中某些点染红色，其余点染蓝色，已知在任何一个平面上的同种颜色点

不会超过３个，求证：存在一个四面体，它的顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点．

三．巩固练习

１．在一条直线上标出n个不同的蓝点和n个不同的红点．证明：同色点两两之间的距离

之和不超过异色点两两之间的距离之和．

２．平面直角坐标系中，设计一种方法将所有整点染白、红、蓝三色之一，使得①各色点出现在无穷多条

平行于横轴的直线上；②对于任意白色点A、红色点B、蓝色点C总可以找到一个红色点D，使ABCD

3

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使平行四边形．

３．在圆周上给定2n?1(n?N,n?3)个点，从中任选n个点染成黑色，试证明：一定存在两个黑点，使

得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n个所给定的点．

４．任给一个k染色平面，a?0(a?1)，n为大于２的自然数，证明存在两个顶点同色的相似n边形，其

相似比为a．

染色问题与染色方法（二）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等．

二．例题精选

（一）线段染色问题

如果一个图形有n个顶点，每两个顶点间连有一条线段（边），则称这个图形为完全图，记为Kn．若每条边染上红蓝两色之一，称之为二染色；每条边都染上k种颜色之一，称之为k染色．如果以图中三个顶点的三角形的三边染有同一种颜色，则称之为同色三角形． 例１．在二染色K6中，总存在两个单色三角形．

A2

A3 A1

A6 A5

A4

例２．试证：在二色K7中至少有四个单色三角形．

4

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例３．将使每一个k染色的完全图Kn都含有单色三角形的n的最小值记作rk，求证：当 k?2时，有rk?k(rr?1?1)?2． 利用：数学归纳法

例４．平面上有任三点不共线的10个点，两两连线，这些线段已经被染成红、兰两色，

每条线段染一色，已知A点引出的红色线段有奇数条，除A点外其余各点所引出的 红色线段数各不相同，求此图中，三边全红及两边红、一边兰的三角形各有多少个？

例５．空间１８个点，任三点不共线，它们的两两连线染上红色或兰色，每条线段仅染一色．试证明其中

一定存在一个同色的完全四边形．

例６．已知一五棱柱A1A2A3A4A5?B1B2B3B4B5，各棱都被染上红或蓝色，每一条对角线及面对角线也

都被染上红色或兰色，以棱柱顶点为顶点的三角形各边不构成同色三角形，证明：棱柱的两底面五边形的各边同色．

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