离散数学(第五版)清华大学出版社第4章习题解答(3)

1° 若A，B都是有穷集合，可以先用列元素的方法表示A，B，然后顺序将A中的元素与B中的元素建立对应，如习题4.22。 2° 若A，B是实数区间，可以采用直线方程 作为从A到B的双射函数。

例如，A=[1,2],B=[2,6]是实数区间。如图4.9 所示，先将A，B区间分别标记在直角坐标系的x 轴和y轴上，过（1，2）和（2，6）两点的直线方

程将A中的每个数映到B中的每个数，因此，该直线方程所代表的一次函数就是从 A 到 B 的双射函数。由解析几何的知识可以得到双射函数f:A→B,f(x)=4x?2.

这种通过直线方程构造双射函数的方法对任意两个同类型的实数区间(同为闭区间、开区间或音开半闭的区间)都是适用的。但对半开半闭的区间要注意开端点与开端点对应，闭端点与闭端点对应。此外还要说明一点，对于某些特殊的实数区间可能选择其他严格单调的初等函数更方便，例如，A=[?1,1],B=[?π,π]，那么取f(x)=arcsinx即可。 2 2

3°A是一个无穷集合，B是自然数集N。

为构造从A到B的双射只须将A中的元素排成一个有序序列，且指定这个序列的初始元素，这就叫做把 A“良序化”。比如说 A 良序化以后，是集合{x0,x1,x2L}，那令f:A→B,

f(xi)=i,i=0,1,2,Lf就是从A到B的双射。 59

例如，构造从整数集Z到自然数集N到自然数集N的双射。如下排列Z中元素，然后列出对应的自然数，即 Z:0,?1,1,?2,2,?3,3,L Z:0, 1,2,?2,2,3,4,,5,6L

观察这两个序列，不难找到对应法则。 ?2xx≥0 f:Z→N,f(x)=? ??2x?1 x<0

显然f是从Z到N的双射。

最后要指出，并不是任何两个集合都可以构造双射的。比如说，含有元素不一样多的有穷集之间不存在双射。即使都是无穷集也不一定存在双射，如实数集R和自然数集N之间就不存在双射。这就涉及到集合“大小”的描述和度量方法，限于篇幅地此就不进行探入讨论了，有兴趣的读者可以阅读其他的《离散数学》书籍。

4．24 f1(x)= f1(y)?x=y,R1为N上的恒等关系，且有 N/R1={{n}}|n∈N}.

f2(x)= f2(y)?x与y的奇偶性相同。在N中的所有奇数构成一个等价类，所有的偶数构成另一个等价类。因此， N/R2={{2n|n∈N},{2n+1|n∈.N}}.

f3(x)= f3(y)?x=y(mod3)，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。根据余数分别这0，1，2，可将N中的数分成3个等价类，因而 N/R3={{3n|n∈N},{3n+1|n∈.N}}. 4．25 （1） fog:N→R,fog(x)=x2?x 60

fog不是单射也不是满射。fog(A)={2,12,30,56,90} fog(B)={0}。 x2

（2） fog:Z→R,fog(x)=efog不是单射也不是满射。 n2

fog(A)={e |n∈N}. 4n2

fog(B)={e |n∈N}.

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