相交线，垂线（提高）知识讲解(2)

5. （2015春?会宁县期中）如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．

【答案与解析】

解：由题意得：

∠3=∠1=30°（对顶角相等） ∵AB⊥CD（已知）

∴∠BOD=90°（垂直的定义） ∴∠3+∠2=90° 即30°+∠2=90° ∴∠2=60°

【总结升华】本题考查了垂线，对顶角、邻补角．注意：由垂直得直角． 【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】 举一反三：

【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

【答案】 解：如图，

∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2 又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2

由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2 ∴∠3=∠4

∴ ON平分∠BOC

6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)． (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明) 【答案与解析】

解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．

【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法． 举一反三：

【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【答案】

解：如图所示

【变式2】点P为直线l外一点：点A、B、C为直线l上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离是 ( )

A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D

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