经济学原理 习题及答案(4)

??q20a?q?q1a?q?()dq?p2q2???()dq?p1q1?bb?0?a21aq?q22?ba2b?p2q2?(?ap1?p12)2b20

12．令消费者的需求曲线为p=a－bq,a,b>0 ，并假定征收pt% 的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t) ，证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。

12aq2?q2a2b2??p2q2?(?ap1?P12)b2b2a2b2a2b??ap2?p2?(?ap1?p12)2b22b2b2b2?q2?p1?ap2?ap122a?Pb 解：设价格为p 时，消费者的需求量为 q1 ，则p=a－bq1 ，得

a?(1?t)Pq2?b又设价格为P(1+t) 时，消费者的需求量为q2 ，由P=a－bq2 ，得

q1?消费者剩余损失

??q10q2?(a?bq)dq?pq1??(a?bq)dq?P(1?t)?q2????0???(a?bq)dq?P(1?t)?q2?pq1q2q1b21?(aq?q)?(1?t)pq2?pq12q2?(aq1?b2b2q1)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq122

q政府征税而提高的收益=(1+t)pq2－pq1

消费者剩余亏损－政府征税而提高的收益

bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq1??(1?t)pq2?pq1?22bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)22a(a?p)ba?p2a?a?(1?t)p?b?a?(1?t)p????()?????b2bb2?b?2tp?t2p2?2b2∵b、t 、p>o

2tp?t2p22b∴>0

因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。

13．假定效用函数为U=q0.5+2M ，q 为消费的商品量，M为收入。求：需求曲线。

解：根据题意可得，商品的边际效用 MU=?U/?q=0.5q-0.5

单位货币的效用为λ=?U/?M=2

若单位商品售价为P，则单位货币的效用λ 就是商品的边际效用除以价格，即 λ=MU/P

?0.5?U?U0.5q?P2??M?qP 于是得，即

1q?16P2，这就是需求曲线。 进而得

14．某消费者消费商品X和Y的无差异曲线为Y?20?4x，问：

①组合（4,12）点的斜率是多少？ ②组合（9，8）点的斜率是多少？ ③MRS 是递减的吗？

?dy1?dy??4?x2??2x22解：对于Y?20?4x，有dx即dx ??dy??2x2??2?42??1①当x=4时，dx

1111故Y?20?4x在点（4，12）处的斜率为-1

??dy22??2x?2?92??3 ②当x=9时，dx11故Y?20?4x在点（9，8）处的斜率是

?dy?2x2③由于MRSxy=dx

1?23

??11(2x)?x?2?(?)?x2??x2??32x2＜0 而

?1233故MRSxy是递减的。

15．已知某人消费共两种商品X和Y的效用函数为U?XY，商品价格为Px和Py ，收入为M，请推导出他对X和Y的需求函数。 解：根据题意，预算方程为Px·x+Py·y=M，那么，M－Px·x－Py·y=0

1/31/3

令U= XY＋λ(M－Px·x－Py·y) ，U极大的必要条件是所有的一阶偏导数为零，即

1313?U1?33?xy??Px?o;?X3?U13?3?xy??Py?0;?y3?U?M?Px?x?Py?y?0??

1221解下列方程可得出X和Y的需求函数

1?1?233?xy??Px?0?312?133xy??Py?0?3??M?Px?x?Py?y?0??

16．已知某人月收入为1200元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，X的价格为20元，Y的价格为30元。求：

①为获得最大效用，他购买的X和Y各为多少？ ②货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？

③假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为保持原有的效用水平，他的收入必须增加多少？

④假设他原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X的价格提高44%时，消费品价格指数提高多少？ ⑤为保持原有的效用水平，他的收入必须提高多少个百分率？

⑥你关于④和⑤的答案是否相同？假如不同，请解释为什么他的效用水平能保持不变？

?U?(XY)?U?(XY)??Y,??X;?X?X?Y?Y解：① 由U=XY得：

又知，Px=20 Py=30 ，进而由MUX/PX=MUY/PY，得Y/20=X/30

由题意可知预算方程为：20X+30Y=1200 解下列方程组

YX????2030??20X?30Y?1200 ?X?30?可得?Y?20

因此，为使获得的效用最大，他应购买30单位的X和20单位的Y。 ②∵MUx=?U/?x=Y=20, Px=20

∴货币边际效用λ= MUX/PX=Y/Px=20/20=1 总效用TU=XY=30×20=600

③现在PX=20+20×44%=28.8,MUX/PX=MUY/PY也就是Y/28.8=X/30 又由题意可知,U=XY=600

X?Y???X?25?28.830??XY?600?解 得?Y?24

④

原有的价格指数(30?28.8?20?30)?(30?20?20?30)?30?20?20?30264??2200

⑤收入提高的百分率=24/120=20%

⑥消费品价格指数提高22%,而收入提高了20%,二者显然不同。

消费品价格提高的百分率?价格指数增加额因为X的价格提高44%，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30降为25，因而减少支出为28.8×(30-25)=144元;另一方面,Y的购买量从20增至24,因而增加30×(24-20)=120元的支出,二者相抵,净节省144-120=24元,占原收入1200元的24/1200=2% 。因此，当价格指数提高22%时，收入只需提高20%就够了。

17．若某消费者的效用函数为U=xy4,他会把收入的多少用于商品Y上？ 解：假设商品X的价格为PX，商品Y的价格为PY，收入为M。

由U=xy4 得：?U/?x=y4 ?U/?y=4xy3

他对X和Y的最佳购买条件是，MUX/PX=MUY/PY，即为：y4/Px=4xy3/Py

变形得，把

Px?x?1Py?y4

Px?x?1Py?y4代入预算方程Px?x?Py?y?M

这就是说，他收入中有4/5用于购买商品Y。

18．证明：若效用函数为U=XrY，r>0, 则恩格尔曲线是一条直线。

解：恩格尔曲线是在商品价格和消费者的偏好不变的情况下，消费者收入变动，无差异曲线和预算线的切点的轨迹，它经过原点。设X的价格为PX，Y的价格为PY 对于U=XrY，有：?U/?x=rXr-1Y ?U/?y=Xr

1Py?y?Py?y?M44Py?y?M5

rXr?1YXr?PPy x MUX/PX=MUY/PY，即为：

PY?xrPy 变形整理得，XPxY由于Px 、Py 是固定不变的，r为常数，且r>0 ，故rPy是一个大于零的常数。因此，X是

大于零的常数。

又因为恩格尔曲线过原点，所以Y/X就是曲线的斜率，而Y/X又是大于零的常数。因此，恩格尔曲线是一条过原点向右上方倾斜的直线。

四、分析讨论

１．钻石用处极小而价格昂贵，生命必不可少的水却非常之便宜。请用边际效用的概念加以解释。

答：钻石于人的用处确实远不如水，所以，人们从水的消费中所得的总效用远远大于人们从钻石的使用中所得的总效用。但是，商品的需求价格不是由总效用而是由商品的边际效用的大小来决定，即由Ｐ＝Ｍu/λ决定。

虽然人们从水的消费中所得的总效用很大，但是，由于世界上水的数量很大，因此，水的边际效用很小，人们只愿付非常低的价格。相反，钻石的用途虽远不及水大，但世界上钻石数量很少，因此，其边际效用很大。

２．如果你有一辆需要四个轮子才能开动的车子，有了三个轮子，那么当你有第四个轮子时，这第四个轮子的边际效用似乎超过第三个轮子的边际效用，这是不是违反了边际效用递减律？

答：不违反边际效用递减规律。因为边际效用是指物品的消费量每增加（或减少）一个

单位所增加（或减少）的总效用的量。这里的“单位”是指一完整的商品单位，这种完整的商品单位，是边际效用递减规律有效性的前提。比如，这个定律适用于一双的鞋子，但不适用于单只的鞋子。对于四轮子而言，必须是有四个轮子的车才成为一单位。三个轮子不能构成一辆四轮车，因而每个轮子都不是一个有效用的物品，增加一个轮子，才能使车子有用。因此，不能说第四个轮子的边际效用超过第三个轮子。

３．能否想像一下边际效用递增的商品？

答：当只消费一种商品时，这种商品边际效用一定随其消费量的增加而减少。只有在二元总效用函数ＴＵ＝Ｕ（x,y ）中，若Ｘ和Ｙ 属互补品，则一种商品的边际效用将随另一种商品消费量的增加而增加。例如，在酒席上，当菜增加时，酒的边际效用会增加；当酒增加时，菜的边际效用也会增加。另外，在所谓“癖好”和“集成”两类情况中，也会出现商品边际效用递增的情况。前者如一个酒仙在一次几杯酒中，喝第３杯要比第２杯所得到的满足大，喝第４杯所得到的满足可能比第３杯还大；后者如一个集邮者的满足是随一套邮票的收集越来越齐全而增加的，他感到收集的邮票是越多越好。

4．假设某君花费一定收入消费两种商品X与Y，又知当X的价格下跌时，某君对X消费的替代效应之绝对值大于收入效应之绝对值。请指出下列命题中正确的命题和不正确的命题。并说明理由。

此处

（1）（1）X是正常商品； （2）（2）X是劣质商品； （3）（3）X不是吉芬商品； （4）（4）Y是正常商品； （5）（5）Y是劣质商品。

答：（1）“X是正常商品”，不正确，因为正常商品价格下降时，替代效应可大于、等 于或小于收入效应。 （2）“X是劣质商品”，不正确，因为非吉芬商品的劣质商品的价格下降时，替代效应大于收入效应。

（3）“X不是吉芬商品”，不正确，因为X不是吉芬商品，可能是正常商品，也可能是劣质商品。如果是正常商品，其价格下降时，替代效应可能会等于或小于收入效应。

（4）“Y是正常商品”，不正确。因为X价格下降时，对X消费量的替代效应之绝对值是否大于收入效应之绝对值与Y商品是否是正常商品无关。

（5）“Y是劣质商品”，不正确。因为X价格下降时，对X消费量的替代效应之绝对值是否大于收入效应之绝对值与Y商品是否是劣质商品无关。

5．为什么劣质商品的需求价格弹性可能为负的、零或正的？

答：劣质商品的价格下降时，替代效应倾向于增加这种商品的需求量，而收入效应财倾向于减少这种商品的需求量，两种相反的力量同时发生作用。

若替代效应大于收入效应，则随着价格下降，商品的需求量增加。这时，需求价格弹性为负。

若替代效应等于收入效应，价格下降，商品的需求量不发生变化。这时，需求价格弹性为零。

若替代效应小于收入效应，随价格下降，商品需求量也减少。这时，需求价格弹性为正。这样的劣质商品就是吉芬商品。

6．一个风险回避者有机会在以下二者之间选择：在一次赌博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他可以得到325美元,他会怎样选择?如果他得到的是320美元,他会怎样选择?

答:该消费者现在在无风险条件下(即不赌博条件下)可以持有的确定的货币财富是325美元,而在风险条件下即进行赌博的财富的期望值也是325美元（0.25×1000+0.75×100=325）,由于他是风险回避者,他认为持有一笔确定的货币财富的效用大于在风险条件下

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