第十章 常微分方程(组)求解

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

Matlab常微分方程（组）求解 一、 求微分方程的解

（一） 相关函数（命令）及简介

1， dsolve('equ1','equ2',…):Matlab求微分方程的解析解。

equ1,equ2,…为方程（或条件）。写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用D2y表示y关于自变量的二阶导数，依次类推。

2， simplify(s):对表达式s使用maple的化简规则进行化简。 例如： syms x

simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans=1

3,[r,how]=simple(s):由于Matlab提供了多种化简规则，simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则。 例如： syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r=cos(2*x) how=combine

4,[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0),求微分方程的数值解。 （1）其中的solver为命令

ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。

?dy?f(t,y),（2）odefun是显式常微分方程：? ?dt??y(t0)?y0.（3）在积分区间tspan?[t0,tf]上，从t0到tf，用初始条件y0求解。

（4）要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,...上的解，则令tspan?[t0,t1,t2,...,tf]（要求是单调的）

（5）因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver。

求解器solver ODE类型 特点 说明

ode45 非刚性 单步算法：4，5阶的Runge-Kutta 大部分场合的首选算法 方程；累计截断误差达(?x)3

ode23 非刚性 单步算法：2，3阶的Runge-Kutta 使用于精度较低的情形

3 方程；累计截断误差达(?x)

170．

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

ode113 非刚性 多步法：Adams算法；高低精度均 计算时间比ode45短 可到10~10。

ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形

ode15s 刚性 多步法：Gear?s反向数值微分 若ode45失败时，可尝

精度中等 试使用

ode23s 刚性 单步法：2阶Rosebrock算法； 当精度较低时， 计算

低精度 时间比ode15s短

ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时， 计算

时间比ode15s短

（6）要特别说明的是：ode23,ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常

微分方程（组）的初值问题的解的Matlab的常用程序，其中：

ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度。 ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度。 5，ezplot(x,y,[tmin,tmax]):符号函数的作图命令，x,y为关于参数t的符号函数，[tmin,tmax]

为t的取值范围。

6，inline():建立一个内联函数。格式：inline('expr','var1','var2',…)，注意括号里的表达式要

加引号。

如：Q=dblquad(inline('y*sin(x)'),pi,2*pi,0,pi).

?3?6例1：求解微分方程dy?2xy?xe?x，并加以验证。

2dx求解本问题的Matlab程序： syms x y

y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) 说明：

（1） 行1是用命令定义x，y为符号变量。这里可以

不写，但为确保正确性，建议写上；

（2） 行2是用命令求出的微分方程的解：

1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1

（3） 行3使用所求得的解。这里是将解代入原微分

方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)

（4） 行4用simplify()函数对上式进行化简，结果为

0，表明y=y(x)的确是微分方程的解。

例2：求解微分方程xy??y?ex?0在初始条件y(1)?2e下的特解，并画出解函数的图形。

求解本问题的Matlab程序： syms x y

y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') ezplot(y)

171．

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

微分方程的特解为y=1/x*exp(x)+1/x*exp(1)(Matlab格式)，

e?ex即y?，解函数图形（略）。

x?dxt?5x?y?e,??dt例3：求解微分方程组?在初始条件xt?0?1，yt?0?0dy??x?3y?0??dt下的特解，并画出解函数的图形。

Matlab程序： syms x y

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')

simple(x); simple(y);

ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto 2，用ode23,ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解） 例

?dy2???2y?2x?2x,4：求解微分方程初值问题?dx的数值解，求解范围

??y(0)?1为[0，0.5]。

Matlab程序：

fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); x'; y';

plot(x,y,'o-') 例5：用Euler

2x?dy??y?2,折线法求解微分方程初值问题?dxy的数

?y(0)?1?值解（步长h取0.4），求解范围为[0，2]。 解：本问题的差分方程为

?x0?0,y0?1,h?0.4,? ?xk?1?xk?h,?2?yk?1?yk?hf(xk,yk)(其中：f(x,y)?y?2x/y),k?0,1,2,...,n?1Matlab程序： clear

f=sym('y+2*x/y^2'); a=0;

172．

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

b=2; h=0.4;

n=(b-a)/h+1; x=0; y=1;

szj=[x,y]; for i=1:n-1

y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y}); x=x+h;

szj=[szj;x,y]; end szj

plot(szj(:,1)szj(:,2)) 练习：

1，求微分方程(x2?1)y??2xy?sinx?0的通解。 2，求微分方程y???2y??5y?exsinx的通解。

?dx?x?y?0,?dt3，求微分方程组?在初值条件xt?0?1,yt?0?0下的特解，并画??dy?x?y?0??dt出函数y?f(x)的图形。

4，分别用ode23,ode45求上述第3题中的微分方程初值问题的数值解（近似解），求解区间为t?[0,2]。利用画图来比较两种求解器之间的差异。

5，用Euler

?12x2?y??y?3,折线法求解微分方程初值问题?y的数值

?y(0)?1?解（步长h取0.1），求解范围为[0，2]。

?y??y?excosx,6，用四阶Runge?Kutta法求解微分方程初值问题?的数

?y(0)?1值解（步长h取0.1），求解范围为[0，3]。

四阶Runge?Kutta法的迭代公式为（Euler

法实为一阶Runge?Kutta 173．

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

??y0?y(x0),??xk?1?xk?h,?h?yk?1?yk?(L1?2L2?2L3?L4),6??k?0,1,2,...,n?1 法）：?L1?f(xk,yk),?hh?L2?f(xk?,yk?L1),22??hh?L3?f(xk?,yk?L2),22???L4?f(xk?h,yk?hL3),试用该方法求解第5题中的初值问题。

Matlab程序： clear

f=sym('y-exp(x)*cos(x)'); a=0; b=3; h=0.1;

n=(b-a)/h+1; x=0; y=1;

szj=[x,y]; for i=1:n-1

l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});

l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*12+2*13+14)/6; x=x+h;

szj=[szj;x,y]; end szj

plot(szj(:,1)szj(:,2))

7,用ode45方法求上述第6题的常微分方程初值问题的数值解（近似解），从而利用画图来比较两者的差异。

二、常微分方程（组）的MATLAB符号求解

10.1.1 用MATLAB求常微分方程（组）的通解

用Matbal函数dsolve求常微分方程：F(x,y,y?,y??,...,y(n))?0 （10.1）

174．

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