高考数学第九章 平面解析几何第2课时 直线的方程

第九章 平面解析几何第2课时 直线的方程

考情分析 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 考点新知 ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

1. 把直线方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．

ACxy

答案：y＝－x－ ＋＝1

BBCC

－－AB

解析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截ACxy

式为y＝－x－，截距式为＋＝1.

BBCC

－－AB

2. (必修2P88习题13改编)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条

件的直线方程为__．

答案：x＋y－9＝0，y＝2x

xy36

解析：设该直线方程为＋＝1(a≠0)，则＋＝1，所以a ＝9，则该直线方程为x＋y－9

aaab＝0；又若过原点，则该直线方程为y＝2x.

3. 下列四个命题：

① 过点P(1，－2)的直线可设为y＋2＝k(x－1)；

xy

② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为＋＝1(a≠0)；

aa1

③ 经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k＝；

a－b④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④

3

4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为

4________．

答案：3x＋4y－14＝0

3

解析：由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.

4

5. 经过两点(－1，8)和(4，－2)的直线的两点式方程是____________________，截距式方程是__________________，一般式方程是____________________． y－8x－（－1）xy

答案：＝ ＋＝1 2x＋y－6＝0

－2－84－（－1）36

1. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y－y0＝k(x－x0) y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1) 若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1． (2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1． (3) 若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0． (4) 若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0． 3. 线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则

x1＋x2x＝，2

y1＋y2y＝，2?????

此公式为线段P1P2的中点坐标公

式.

题型1 直线方程

例1 求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．

解：(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．

① 当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.

② 当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x

＝2.

y－y1x－x1y－mx－2

③ 当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程＝得＝.

y2－y1x2－x13－mn－2

(解法2)利用直线的点斜式方程．

① 当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2. 3－m

② 当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵ 过点A(2，m)，∴ 由直线的点斜

n－23－m

式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．

n－2

变式训练

过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．

解：(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距44

分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝

kk

?1－4?＋(4－k)＝5＋(－k)＋?－4?≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－4，即k＝－2时，S有最小

?k??k?k????

值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0. xy

(解法2)设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)．

ab14

据题设有＋＝1，① 令S＝a＋b.②

ab

b4ab4a14?14?①×②，有S＝(a＋b)?＋?＝5＋＋≥5＋4＝9.当且仅当＝时，即2a＝b，且＋＝ababab?ab?1，也即a＝3，b＝6时，取等号．

xy

故所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.

36

例2 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． xy

解：①截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1.

a－a52

∵ l过A(5，2)，∴ ＋＝1.

a－a

∴ a＝3.∴ l的方程为x－y－3＝0. ②截距为0时，l的方程为2x－5y＝0.

综上①②可得直线l的方程是x－y－3＝0或2x－5y＝0. 备选变式（教师专享）

直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 解：解法1：(借助点斜式求解)

由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，

2

令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－. k22

由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝. k3

2

故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．

3即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0. 解法2：(利用截距式求解)

由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a. 若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)， 2

∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.

3xy

若a≠0，则设l为＋＝1.

aa

32

由l过点(3，2)，知＋＝1，故a＝5.

aa

∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 题型2 直线方程的形式

例3 求经过点A(－2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．

xy

解：(解法1)设所求直线方程为＋＝1(a<0，b>0)，

ab

－222b1b2bb4∵ ＋＝1，∴ a＝.又a<0，∴ b>2.S△＝－ab＝－·＝ ＝(b＋2)＋

ab2－b222－bb－2b－24??＝?（b－2）＋＋4≥2b－2???

44

（b－2）·＋4＝8. 当且仅当b－2＝，即b＝4时S

b－2b－2

2

最小．此时a＝－4，b＝4，故x－y＋4＝0为所求直线方程．

1?2?(解法2)设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，由题意，S△＝|2k＋2|·?－－2? ＝

2?k?1

4＋2(k＋)≥8.当且仅当k＝1时取等号，

k

故x－y＋4＝0为所求直线方程． 备选变式（教师专享）

直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点． (1) 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程； (2) 当|MA||MB|最小时，求直线l的方程．

1

解：(1) 如图，设|OA|＝a，|OB|＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距

2xy

式方程是＋＝1，

ab

21

由直线通过点(2，1)，得＋＝1，

aba1b所以＝＝. 21b－11－b

因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得

abb－1＋11S＝×b＝×b＝＝b＋1＋ 2b－1b－1b－11＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.

b－1

1xy

当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＋＝1.

b－142即直线l的方程为x＋2y－4＝0.

2

(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则|MA|＝所以|MA||MB|＝

12

，|MB|＝， sinθcosθ

124

·＝， sinθcosθsin2θ

当θ＝45°时，|MA||MB|有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.

题型3 待定系数法求直线方程

例4 过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．

解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为

??y＝kx＋1，7

y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组??xA＝，

3k－1?x－3y＋10＝0???y＝kx＋1，7

??xB＝.

k＋2?2x＋y－8＝0?

∵ 点M平分线段AB，∴ xA＋xB＝2xM， 771

即有＋＝0，解得k＝－. 3k－1k＋24

故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.

(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵ 点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴ 设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴ 根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，

而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴ (－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴ B(4，0)．

故所求直线方程为x＋4y－4＝0. 备选变式（教师专享）

已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.

(1) 求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；

(2) 过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程． (1) 证明：∵m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，

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