A事件的概率(3)

例1.42 (试验次数) 设P(A)= p．接连不断地独立地重复进行试验，问为使事件A至少出现一次的概率不小于Q(0

解 设所需试验的次数为n， Bn=｛n次试验中A至少出现一次｝， Ak=｛第k次试验中出现A｝， 则Bn= A1+A2+?+A n ，P(Ak)= p，且A1, A2,?,A n相互独立．

Q?P?Bn??1?P?Bn??1?PA1?A2???An?? ?1?P?A1?P?A2??P?An??1??1?p?；?1?p?n?1?Q , nlg?1?p??lg?1?Q? ，　

nn?lg?1?Q?．lg?1?p?例如，p = 0.15，Q =0.95，则

lg?1?0.95?n??18.4331?. lg?1?0.15?即为使事件A至少出现一次的概率不小于0.95，至少需要进行n = 19次试验． 例1.44（独立性） 将一枚完备对称和均匀的硬币接连掷n次．引进事件：

A?{正面最多出现一次}， B?{正面和反面各至少出现一次}．

试就n = 2，3和4的情形讨论事件A和B的独立性． 解 以Xn表示“将硬币掷n次正面恰好出现的次数”．易见 A??Xn?1?，B??Xn?1，n?Xn?1?，B??Xn?0???Xn?n?；显然Xn服从参数为?n，1/2?的二项分布．需要就n = 2，3和4的情形讨论P(AB)?P(A)P(B)的条件

1nn?1P(A)?P?Xn?0??P?Xn?1??n?n?n；222 1P(B)?1?P?Xn?0??P?Xn?n??1?n?1．2当n≥2时，由AB??Xn?1?，可见

nP?AB??P?Xn?1??n．

2事件A和B独立，当且仅当

nn?1?1?P(AB)?n?n?1?n?1??P(A)P(B)．

22?2?由此可见，事件A和B独立的充分必要条件是

n?1?2n?1．

由于上式当n=3时成立，故当n＝3时事件A和B独立；但上式当n=2和4

—1.11—

时不成立，从而当n=2或4时事件A和B不独立．

〖证明题〗

例1.48（独立性） 对于任意二事件A和B，其中0＜P(A), P(B)＜1，称

P?AB??P?A?P?B??? P?A?P?A?P?B?P?B?为事件A和B的相关系数．试证明，

(1) ??1；

(2) ??0是二事件A和B独立的充分和必要条件．

证明 记P(A) = p ,P(B) = q，P(AB) = r．考虑两随机变量X 和 Y：

?1，若A出现，?1，若B出现， X?? Y???0，若B出现；?0，若A出现；其概率分布为：

?0X~??1?p?1?1??0?? , Y~? ． ???p??1?qq?此外，显然随机变量XY只有0和1两个可能值，并且

P?XY?1??P?X?1,Y?1??P(AB)?r． 易见，随机变量X 和 Y的数字特征为：

EX?p，EY?q，DX?p(1?p)，DY?q(1?q)，

cov(X,Y)?EXY?EX EY?r?pq．因此，事件A和B的相关系数就是随机变量X 和 Y的相关系数：

cov(X,Y)r?pq???． （*）

DX DYp?1?p?q?1?q?1) 由随机变量的相关系数的基本性质知??1．

2) 必要性 假设事件A和B独立．因为根据条件P(AB)?P(A)P(B)，即r=pq ，故由(*)可见?＝0．

充分性 假设?＝0，则由(*)可见r=pq，即P(AB)?P(A)P(B)． 例1.49（独立性） 对于任意二事件A1,A2，考虑二随机变量

? 1 ，若事件Ai出现， Xi??(i?1,2) ．? 0 ，若事件Ai不出现，试证明随机变量X1和X2独立的充分与必要条件，是事件A1和A2相互独立．

证明 记pi?P(Ai)(i?1,2)，p12?P(A1A2)，而?是X1和X2的相关系数．易

—1.12—

见，随机变量X1和X2都服从0-1分布，并且

P{Xi?1}?P(Ai)，P{Xi?0}?P(Ai)， P{X1?1,X2?1}?P(A1A2)．(1) 必要性．设随机变量X1和X2独立，则

P(A1A2)?P?X1?1,X2?1??P?X1?1?P?X2?1??P(A1)P(A2)．从而，事件A1和A2相互独立．

(2) 充分性．设事件A1和A2相互独立，则A1和A2,A1和A2,A1和A2也都独立，故

P?X1?0,X2?0??P(A1A2)?P(A1)P(A2)?P?X1?0?P?X2?0?，P?X1?0,X2?1??P(A1A2)?P(A1)P(A2)?P?X1?0?P?X2?1?，P?X1?1,X2?0??P(A1A2)?P(A1)P(A2)?P?X1?1?P?X2?0?，P?X1?1,X2?1??P(A1A2)?P(A1)P(A2)?P?X1?1?P?X2?1? ．

从而，随机变量X1和X2独立．

例1.51（独立性） 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，

a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，以Ak=｛卡片上印有ak｝．证明事件A1,A2,A3两两独立但三个事件不独立．

111证明 P?Ak??(k?1,2,3)，P?AkAj??(k,j?1,2,3；k?j)，P?A1A2A3??．

444由于对任意k,j?1,2,3 且 k?j,有

111???P?Ak?P?Aj?， 422可见事件A1,A2,A3两两独立．但是，由于

P?AkAj??P?A1A2A3??可见事件A1,A2,A3不独立．

1111????P?A1?P?A2?P?A3?， 4222—1.13—

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