高等代数知识在初等数学中的应用毕业设计(4)

解:将看成是常数,则方程组可改写为：

则有． 求解得．

代入方程组求解,得到． 故原方程组的全部解为：

第六章 柯西不等式在初等数学中的应用

6.1柯西不等式在解析几何中的应用

定理6.1【6】 设（i=1,2??n），则 当且仅当时，不等式等号成立．

例6.1.1 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴。证明直线经过原点．

分析：

yAOxCB

图5.2.1

如图所示，欲证直线经过原点，只须证三点共线即可。因为是抛物线的焦点弦，可知两点纵坐标之积为，故可设，．

据题意不难得出，从而 ，因此三点共线．

6.2柯西不等式在解其它题方面的应用

柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用，它与我们的其它知识相结之后，就变得更加灵活，使解题增加了难度．

例6.2.1 设是正实数数列，对所有的满足条件，证明对所有，有． 证明：先证一个更一般的命题：设和都是正数，

且 ． （2.1） 若对所有， ． （2.2）

则有 ． （2.3） 事实上，设，由（2.1）和（2.2）可得

?(bk?1nnnk?bk?1)?bj??(bk?bk?1)?aj

j?1k?1j?1knk改变求和次序得

?b?(bjj?1k?jk?bk?1)??aj?(bk?bk?1)．

j?1k?jnn由此可得 ． 由柯西不等式，有 ． 所以(?b)?(?ajbj)??a2j2j?1j?1j?1nnn2j?bj?1n2j 即．

令 bj?nnj??j1?1j?j?1n(?j1,???2,．n, )则

?a??2jj?1j?11(j?j?1)2??111?(1??????)． 242nj?1(2j)1例6.2.2 试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数，使得成立，其中，为虚数单位，.证明你的结论．

分析：将成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找的范围．

解：将转化到实数范围内，即

． （2.4）

若存在实数使（2-4）成立，则．

由柯西不等式可得 ． （2.5）

如果，由（2.4）可得，从而与（2.5）

矛盾，于是得 ． （2.6）

反之，若（2.6）成立，有两种情况 ①，则取，，显然（2.4）成立 ②，则，则不全为0 不妨设，取，，有yn?1?易知（2.4）成立.

综上，所求的条件为 ．

axnx2n?1?x2n,yn??axn?1x2n?1?x2n.

第七章 结 论

高等代数许多内容的知识背景源于中学，在课程教学改革实践中，不仅要挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．从数学方法论的角度看，高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．注意与中学数学的区别与联系对比不但可以降低高等代数课程的学习难度，而且也可增强本课程对培养中学数学教师的指导作用．从基本概念、定理以及知识背景等方面阐述高等代数与中学数学的区别与联系，把中学数学知识恰当地融入到高等代数的教学中来，将受到更好的效果．另外，用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．

高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．此外,高等代数中讲到的代数运算、数学归纳法、同构映照、变换等方法和思想亦可应用于中学数学中,以免学生学完高等代数只知行列式、矩阵就是用来求解方程组．同时使高等代数知识得到一定的应用并让学生对高等代数产生更大的兴趣．更重要的是使学生认识到数学的每一个分支都是一种工具,而且各分支之间是有联系的．让学生把数学作为一种工具学好用好是我们的目标之一．用高等的观点去研究初等数学是新世纪对中学数学教师高水平的要求,教师是否具有较高的数学观点,是衡量教师数学素质的重要标准.教师

具有高的观点,就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系,把握教材的重难点;教师具有高观点.就能从认知的角度,在知识的各部分渗透高等数学的观点,培养学生的创造性、批判性思维.教师是否具有高观点,也是提高教学质量、培养高层次人才的重要保证.中学教师绝大多数毕业于师范院校本、专科,具有高等数学知识是无疑的,但能用高等数学的观点去指导中学数学教学的却不多见.因此,作为将来从事中学数学教学的大学生,学好高等数学,使自己成为一名高素质的中学教师,是时代赋予我们的义不容辞的责任．

参考文献

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致谢

在毕业论文完成的过程中，更是走的很困难.完成了这篇论文之时，最深的感触就是时间紧张，专业知识很是缺乏，在此感谢帮助过我的人，没有他们的帮助，我是不可能顺利完成论文的.特别是感谢指导老师在完成整个毕业论文的过程中，给予我悉心的指导和帮助.老师的严谨的治学态度、勤奋的工作作风、平易近人的处世风范，给我留下了深刻的印象，将会在我今后的学习和生活中时刻影响我.值此论文完稿之际，特此向老师致以衷心的感谢!

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