2014-2015学年数学必修五(人教版A版)正、余弦定理在实际中的应用(2)

则A、B、C构成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设到达C处用时为t.

由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°, ∴3v2t2=a2+v2t2+avt.

∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a. ∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a,

∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.

10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449)

解:在△ACD中,∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC,

又∵∠BCD=180°-60°-60° =60°=∠ACB, ∴△ACB≌△DCB, ∴AB=DB.

在△ABC中,∠ABC=75°-∠ACB=15°. 由正弦定理得AB==∴BD=

(km).

≈0.33(km).

·sin 60°

即A、B两点距离与BD相等,BD约为0.33 km.

探究创新

11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.

(1)求索道AB的长;

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 从而sin B=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C =×+× =. 由正弦定理得AB=

=

,

×=1040(m).

·sin C=

所以索道AB的长为1040 m.

(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d, 此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m, 所以由余弦定理得

d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50).

由于0≤t≤即0≤t≤8,

,

故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理得BC=

=

,

×=500(m).

·sin A=

乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min, 由题意得-3≤-≤3, 解得

≤v≤,

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[

,](单位:m/min)范围内.

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