数学中的灵敏度分析

因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性

一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~

随 着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影 响。因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配 过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。这里就可以采用灵敏度分析的方法。它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。 一、局部灵敏度分析方法

局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。 1．直接求导法

对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。假设要考虑的初值问题是 ， （1）

同样， 代表n维输出变量， 代表m维输入因素。 代表初值数组。 式（1）对输入因素 微分得到下述的灵敏度微分方程

（2）

或以矩阵形式表示为 （3）

式中， 是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵）， 是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。微分方程（2）的初始条件为零向量。

上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。

对于非时变（静止）系统，将其代数方程 ，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。令 表示隐性代数方程式的解。对输入因素 求导数，得到下面的灵敏度公式：

（4）

式中， 称为静态灵敏度矩阵， 和 由静态点的变量值计算。对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。

2．有限差分法

局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动 ，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。其中比较简单的是采用向前差分格式 （5）

式中 ，截断误差与 同阶。有时采用更为精确的中心差分公式 （6） 而 ，

中心差分法的截断误差与 同阶。虽然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每一个导数时需要求一次函数值，这意味着多做一次结构分析，增加了计算工作量。 3．格林函数法

微分方程（1）关于初始值 的方程为 （7）

上式中， ， 分别表示摄动时间和观测时间， 表示灵敏度矩阵，即 （8）

格林函数法的基本思路是，要求得灵敏度矩阵，就要借助式（2）或式（2）非齐次线性微分方程求得通解，而非齐次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成的，其中齐次方程的通解可由解式（6）得到，而非齐次方程的特解由 （9）

得到，上式中的 被称为格林函数，基于式（8）的解的数值方法称为格林函数法。

直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加，而格林函数的计算量与变量数成比例关系。

二、全局灵敏度分析方法

灵敏度分析方法有以下特点：⑴它研究的是各因素对模型的全局影响（不仅是在某点处，而是在不同位置处）；⑵因素的范围可扩展到因素的整个定义域，各因素可同时变化，能够对非线性、非叠加、非单调模型进行研究和分析。目前，最常见的全局灵敏度分析方法是Sobol’法。

Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法。定义一个 维的单元体 作为输入因素的空间域，表示为 （10）

Sobol’方法的中心思想是将函数 分解为子项之和 （11）

上式右端共有 个子项，且有多种分解方法。现在普遍应用的是1990年Sobol’提出的具有一般代表性的基于多重积分的分解方法。该分解方法的特点如下： （1） 为常数项，各子项对其所包含的任一因素的积分为0 （12）

（2）各子项之间正交。即如果： ，则

（13）

（3）式（11）中分解形式唯一，且各阶子项可由多重积分求得。如： （14） （15）

（16）

式（15）及（16）中， 及 分别表示除 及除 与 之外的其它输入因素，类似地可求其余的高阶子项。

根据统计学的知识，模型输出 的总方差为 （17）

现将式（11）中各阶子项的方差称为各阶偏方差，即 阶偏方差 （18）

把式（11）平方并在整个 内积分，结合式（13）可得总方差与各阶偏方差的关系：总方差等于各阶偏方差之和。即 （19）

将各阶灵敏度系数定义为各阶偏方差与总方差的比值。s阶灵敏度 定义为 （20）

这里， 称为因素 的一阶灵敏度系数，表示 对输出的主要影响； 为二阶灵敏度系数，表示两因素之间的交叉影响；依此类推， 为 阶灵敏度，表示 个因素之间的交叉影响。 由式（19）可知： （21）

在Sobol’法中，各积分可由蒙特卡罗法求出。因此 ， 及 可通过蒙特卡罗估计得出

（22） （23） （24） 三、数例分析

例如一个非单调模型由下式表示

式中 、 服从以下分布， ， 。用Sobol’法方法分析各参数对 的灵敏度。 计算过程如下：首先可以由乘同余法产生均匀分布的为随机数，根据这些伪随机数生成各参数在 均匀分布的随机数。由Latin超立方采样获得随机序列后，代入进行统计分析，最后可以得到参数 和 对 的灵敏度分别为0.202和0.769。这表明 的变化对 的影响较大。 四、结论

1．局部灵敏度和全局灵敏度分析方法是两种比较常用的数学分析方法，在对结构进行灵敏度分析时起着重要作用。

2．当所研究模型是非线性的或者影响输入变量的不确定性处于不同数量级时，局部法可能不能够提供有效的分析结果，但局部法具有较高的计算效率，可用于模型快速的前期研究中。

3．全局法不受模型限制，因素变动范围可扩展到因素的整个定义域，它在灵敏度分析时可以提供比较全面的分析结果，因而愈来愈广泛地在灵敏度分析方面得到运用。 （参考文献略）

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