初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案第4章习题答案

第四章

2.结合高等数学的学习，论述基本初等函数的性质. 3.证明满足性质：（1）f(x1?x2)?f(x1)f(x2)；

（2）单调递简

的函数f(x)是一个以a(0?a?f(1)?1)为底的指数函数。

1.简述函数概念的三种定义，并加以比较说明.

x2?1x?arcsin()+ 4.求函数f(x)?log2x(x?4)25.证明函数y?

xx?32的定义域。

x是无界函数. 1?x例7（奇偶性的应用）已知a,b,x,y都是实数，且x?0，求参数a,b的一切取值，使

?x2?y2?a,??y方程组?x?1有唯一解。

?b?y??x?1解 因为x?0，所以x?a?y2。这个函数显然是关于自变量y的偶函数，由此可知，

如果(x0,y0)是方程组的解，那么(x0,?y0)也是方程组的解。

因为方程组有唯一解，所以y0??y0，即y0?0。于是有a?0,b?0，且方程组的解

?x?a为?。

y?0?反之，当a?0,b?0时，方程组化为

?x2?y2?a,(1) ?y(2)?x?1如果y?0，那么由方程（2）可知x?1，代入方程（1），可得y??a?1。

?x?1?x?1a?1如果，则方程组有两组解：?与?。

y?a?1y??a?1??如果a?1，则方程组无解。

如果a?1，则y?0，这与条件y?0矛盾。

因此，当a?0,b?0时，当且仅当y?0，方程组有唯一解?

5.证明y?sinx2不是周期函数. 6.函数y?cosx不满足任何代数方程.

7.y?cosx的解析式不可能是关于变数x的代数式.

?x?a。

?y?028.（图像的应用）根据参数a，求方程x?3?a?1的解的个数.

9.（单调性的应用）求数列

an?2n2?24n?69?9,n?1,2,3?的最小项. 2(3n?22)?3x2?5x?410.（有界性的应用）已知A?1,B?1，解方程A?Bx?4?2.

例17设函数f(x)?sinnx的最小正周期为T。试证：当n为奇数时T?2?；当n为偶数时T??。

证明 （1）当n?2k?1(k?Z)时，f(x)?sin个周期。

再证2?是最小正周期。

假设f(x)有周期l，且0?l?2?。则对于任意x?R，总有

2k?1x，根据定理4，2?是f(x)的一

sin2k?1(x?l)?sin2k?1x

令x?即cos?2，得sin2k?1(?2?l)?1

2k?1l?1,cosl?1

2k?1但是在区间(0,2?)内这样的l不存在。因此2?是sin（2）当n?2k(k?Z)时，f(x)?sin所以也是sin假设sin2kx的最小正周期。

2k2因为?是sinx的最小正周期，x?(sin2x)k，

x的周期。

x有周期l，且0?l?2?。则对于任意x?R，总有

2ksin2k(x?l)?sin2kx

2k令x?0，得sinl?0。在区间(0,?)内这样的l不存在。因此?是sinx的最小正周

期。

例14作出函数y?x4?2x2?1的图像。 解 （1）函数的定义域是(??,??)。

（2）奇偶性：函数是偶函数，图像关于y轴对称，所以只须在[0,??)内讨论。 （3）有界性：y?x4?2x2?1?(x2?1)2?2??2，函数图像在直线y??2的上方。 （4）单调性：把[0,??)分成[0,1]和(1,??)两个单调区间。

在[0,1]上，x2(?0)是增函数，而x2?1(?0)也是增函数，而(x2?1)2是减函数，从而y?x4?2x2?1也是减函数，它的函数值由?1递减到?2。

在(1,??)内，x2(?0)是增函数，x2?1(?0)也是增函数，(x2?1)2也是增函数，从而y?x4?2x2?1是增函数，它的函数值由?2递增到??。

（5）特殊点：令y?0，解得x??1?2；令x?0，得y??1。图像经过

(?1?2,0)和(0,?1)点。

当x?1时，函数有极小值y??2。

综上，可得函数在x?0时的图像，再根据偶函数的对称性，作出x?0的图像。

例17 利用函数f(x)?x2?x?1的图像，作函数g(x)?x2?x?1的图像。

2解 因为f(x)?g(?x)，所以这两个函数关于y轴对称，由函数f(x)?x?x?1图

2形，通过对称变换即可得到g(x)?x?x?1的图像。

11.简述利用APOS理论如何进行函数概念的教学。

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