【教材习题及解答】
4-1 【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化而形成的轨迹。
根轨迹反映了闭环系统特征根在s平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
4-2【答】运用相角条件可以确定s平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对应的参数值。
4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程1－G(s)H(s)=0与负反馈系统的闭环特征方程1+G(s)H(s)=0存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（?+2k?）是180°根轨迹，正反馈系统的相角条件（0+2k?）是0°根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变?+2k?角度为0+2k?。
4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
4-5 【解】(1) 将s??1?条件，故s??1?当点s??1?j3代入系统的开环传递函数有：?G(s)H(s)??180?，满足根轨迹的相角
j3是该根轨迹上的点。
j3在根轨迹上时，有G(s)H(s)?1。即
K??s?1?s?2?s?4
于是，可得K??12。
?(2) 系统的特征方程为D(s)?(s?1)(s?2)(s?4)?K?0，由劳斯表 148?K?0
s3s2s11790?K?78?K?s0易得使闭环系统稳定的K*值的范围为-8 < K* < 90。
4-6【答案】
1
jωjωjωjωσσσσ
(a) (b) (c) (d)
jωjωjωjωσσσσ
(e) (f) (g) (h)
图4-10 开环传递函数根轨迹图
K?4-7 【解】(1) G(s)H(s)?，绘制步骤如下：
(s?0.2)(s?0.5)(s?1)1) 该系统有3个开环极点，无开环零点，分别为p1＝-0.2，p2＝-0.5，p3＝-1。 2) 系统有3条根轨迹分支，均趋向于无穷远处。 3) 实轴上(-∞,-1]和[-0.5,-0.2]区域为根轨迹。
4) 由于n-m＝3，故系统有3条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：
?a?n?(2k?1)?=?60?, 180? ( k?0,1 )
3mijj?1?a?5) 确定根轨迹的分离点。
?p??zi?1n?m?(?0.2)?(?0.5)?(?1)??0.567
3根据开环传递函数表达式，有A(s)?(s?0.2)(s?0.5)(s?1)，B(s)?1，代入方程
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到
3s2?3.4s?0.8?0
求解上述方程，得到
s1??0.8，s2??0.33
由于s2在根轨迹[-0.5, -0.2]上，故取分离点坐标为d6) 确定根轨迹与虚轴的交点。
由系统的开环传递函数，可得对应的闭环特征方程为
??0.33。
s3?1.7s2?0.8s?0.1?K??0
将s＝jω代入上式，整理得到
?1.7?2?0.1?K??j(??3?0.8?)?0
分别令上式中的实部和虚部为零，即
2????1.7??0.1?K?0 ?3?????0.8??0解得ω＝±0.89，K*＝1.26。 系统的完整根轨迹如图4-11所示。
2
jω+j0.89?adσ-1 -0.5 -0.2 0-j0.89
图4-11 题4-7(1)系统的根轨迹图
K?(s?2)(2) G(s)H(s)?2，绘制步骤如下：
(s?2s?10)1) 该系统有2个开环极点，1个开环零点，分别为p1,2＝-1±j3，z1＝-2。
2) 系统有2条根轨迹分支，一条终止于有限开环零点z1＝-2，另一条趋向于无穷远处。 3) 实轴上(-∞,-2]区域为根轨迹。
4) 由于n-m＝1，故系统只有1条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：
?a?ni?(2k?1)?=180? ( k?0 )
1mjj?1?a?根据开环传递函数表达式，有
?p??zi?1n?m?(?1?3j)?(?1?3j)?(?2)?0
15) 确定根轨迹的分离点或会合点。
A(s)?s2?2s?10，B(s)?s?2，代入方程
s2?4s?6?0
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到
求解上述方程，得到
s1??5.1623，s2?1.1623
由于s1在根轨迹(-∞,-2]上，故取分离点坐标为d6) 确定根轨迹的出射角。
由零、极点分布位置及出射角计算公式，得到点p1处的出射角为
??5.1623。
?p????zp??pp?180??arctan3?90??161.57?
11121根据对称性，点p2处的出射角为-161.57°。 系统的完整根轨迹如图4-12所示。
jωp1+3jd=-5.16-5 -4 -3 -2 -1 0σp2-3j
图4-12 题4-7(2)系统的根轨迹图
K?(s?5)(3) G(s)H(s)?，绘制步骤如下：
s(s?2)(s?3)3
1) 该系统有3个开环极点，1个开环零点，分别为p1＝0，p2＝-2，p3＝-3，z1＝-5。
2) 系统有3条根轨迹分支，其中一条终止于有限开环零点z1＝-5处，另两条则趋向于无穷远处。 3) 实轴上[-5,-3]和[-2,0]区域为根轨迹。
4) 由于n-m＝2，故系统有2条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：
?a?n?(2k?1)?=?90? ( k?0 )
2mijj?1?a?5) 确定根轨迹的分离点。 根据开环传递函数表达式，有
?p??zi?1n?m?(?2)?(?3)?(?5)?0
2A(s)?s(s?2)(s?3)，B(s)?s?5，代入方程
2s3?20s2?50s?30?0
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到
求解上述方程，得到
s1??6.5171，s2??2.5964，s3??0.8865
由于s3在根轨迹[-2,0]上，故取分离点坐标为d系统的完整根轨迹如图4-13所示。
jω??0.8865。
d=-0.89-5 -4 -3 -2 -1 0σ
图4-13 题4-7(3)系统的根轨迹图
4-8【证】设s为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有
?(s?6)??s??(s?4)??(2k?1)?, k?0, 1, 2, ?
然后，将s＝σ＋jω代入上式，得到
?(??6?j?)??(??j?)??(??4?j?)??(2k?1)?, k?0, 1, 2, ?
即
arctan移项，得
???6?arctan???arctan??(2k?1)?, k?0, 1, 2, ????4
arctan???6?arctan????(2k?1)??arctan, k?0, 1, 2, ????4 ???6???????41????6?
?对上式两边取正切，可得
?整理可得
(??6)2??2?(23)2
可见，这是一个以（-6,0）为圆心，以23为半径的圆方程。即证明该系统的复数根轨迹部分为一圆，其
4
圆心坐标为（-6,0），半径为23。
4-9【解】K*＝1时，系统的闭环特征方程为
1?G(s)H(s)?1?即
s?T?0
s2(s?2)s2(s?2)?s?T?0
则以T为参变量时的等效开环传递函数为
G?(s)H?(s)?以下绘制以T为参变量时的系统根轨迹：
T
s3?2s2?s1) 等效开环传递函数有3个开环极点，无开环零点，即p1＝0，p2,3＝-1。 2) 新系统具有3条根轨迹，均终止于无穷远处。 3) 实轴上的(-∞,-1]和[-1,0]均为根轨迹区域。
4) 新系统有3条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为?60和180，交点为
???a?5) 根轨迹的分离点
?p??zii?1j?1nmjn?m?0?(?1)?(?1)2??
33根据等效开环传递函数的表达式，有
A(s)?s3?2s2?s，B(s)?1，于是
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)??3s2?4s?1?0
解得s1＝-1，s2＝-1/3。显然，分离点坐标为d＝-1/3。 6) 根轨迹与虚轴的交点
以T为参变量时，系统的闭环特征方程为
s3?2s2?s?T?0
将s＝jω代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到
2??T?2??0 ?2???(1??)?0求解上述方程组，得到解为
???1, T?2
根据以上信息，绘制的根轨迹如图4-14所示。
jω+j1?2331-1 0?σ-j1
图4-14 题4-9的参数根轨迹
4-10
5
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