第6章 线性空间(解答题)(65题)(3)

2?r11??????????r,?1r?11r?12r?1?12?r1??1??2????r,??2? r?1r?1r?1??????????????1??1????2?r?.r12r??r?1r?1r?1即?1,?,?r也可由?1,?,?r等价，所以秩??1,?,?r??秩??1,?,?r??r.

2） 由1）知?1,?,?r与?1,?,?r,?1,?,?r等价，可知?1,?,?r的一个极大线性无关组就

是?1,?,?r,?1,?,?r的一个极大线性无关组.

28.设向量组?1,?,?s中?1?0且每个?i?i?2,3,?,s?都不能由?1,?,?i?1线性表出，则

?1,?,?s线性无关.

证：用反证法.如果?1,?,?s线性相关，那么有不全为零的数k1,k2,?,ks使

k1?1?k2?2???ks?s=0 （1）

从右至左，设第一个不为零的数是kl，而kl?1???ks?0，则（1）式为

k1?1?k2?2???kl?l=0.

因?1?0，所以l?1，故?l??kk1k?1?2?2???l?1?l?1.即?l可由?1,?2,?,?l?1 k1k1k1线性表出，此与题设矛盾.所以?1,?,?s线性无关.

29.如果f1?x?,f2?x?,f3?x?是线性空间P?x?中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.

证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,k3，使

k1f1?x??k2f2?x??k3f3?x??0.

不妨设k1?0，则f1?x?=?k?k2f2?x??3f3?x?. k1k1此式说明f2?x?,f3?x?的最大公因式就是f1?x?的因式，即

?f?x?f?x?,f?x??=?f?x?,f?x??.

12323此与f1?x?f2?x?,f3?x?=1及f2?x?,f3?x??1矛盾，所以f1?x?,f2?x?,f3?x?线性无关.

30.设?1,?2,?,?m线性无关，则?1??2,?2??3,?,?m?1??m,?m??1线性无关的充分必要条件是m为奇数.

证：令?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1，由题设得

?????10?1???1???? ??1,?2,?,?m????1,?2,?,?m?A，其中A??????0????0?11?n?m按第一行展开，

A?1???1?m?1?2,m为奇数；?? 0,m为偶数，?而?1,?2,?,?m线性无关的充分必要条件是A?0，即m为奇数

31.设向量组?1,?2,?,?m线性相关，但其中任意m?1个向量都线性无关，则

1）等式k1?1?k2?2???km?m=0中的系数ki?i?1,?,m?或者全为0，或者全不为0. 2）当存在两个等式

k1?1?k2?2???km?m=0 （1） l1?1?l2?2???lm?m=0 （2）

其中l1?0时，（1），（2）的对应系数成比例：

kk1k2????m. l1l2lm,?,m?全为0时，恒为等式的解.以下设有一个ki不等于0，不失一般性，证：1）当ki?i?1设k1?0.此时其余的ki?i?2,?,m?都不为0.若等式化为

?k?jj?ij?0?k1?0?，于是这

m?1个向量线性相关，此与题设矛盾.

2） 由于l1?0，由1）知: l2,?,lm均不为0.如果ki?i?1,?,m?全为0，那么结论成立.

li??1??k1??2?，?1??12lk12?k2l???1???1lkm?1klm??r??0.否则ki全不为0，得0?由

1），因?1的系数为

0，所以?2,?,?m的系数全为

0，即

0?l1k2?kl1??2?lkm?1klm，即

kk1k2????m. l1l2lm32.求向量组?1??1,?2,2,3?，?2???2,4,?1,3?，?3???1,2,0,3?，?4??0,6,2,3?，

?5??2,?6,3,4?的一个极大线性无关组.

解1（初等变换法）以?1,?2,?3,?4,?5为列作矩阵A，对A施行初等变换为阶梯型矩阵B：

?1?2?1??242A???2?10??3332??1?2?102????6?6??0322?1???B. ???23000?3?1???34??00000?0由B可知：?1,?2,?4；?1,?3,?4；?1,?2,?5；?1,?3,?5均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.

1解2（子式法）因矩阵A的4阶子式均为0，而3阶子式?2?10206??12?0，所以?1,?3,?422为一极大无关组.

解3（逐一扩充法）因?1?0，所以?1线性无关，又因?1,?2对应分量不成比例，故?1,?2线性无关.因?1,?2,?3线性相关（这可由?1,?2,?3作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以?3不收入.再观察?1,?2,?4，由于?1,?2,?4作成的矩阵有非零的3阶子式，所以

?1,?2,?4线性无关，又因?1,?2,?4,?5线性相关，所以?1,?2,?4为一极大无关组.

33.什么叫做线性空间的基于维数？

答：如果数域P上的线性空间V有n个线性无关的向量?1,?2,?,?n，而且V中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V的一组基（基底）.也称?1,?2,?,?n生成（或张成）线性空间V.?1,?2,?,?n为V的一组生成元.基中所含向量的个数n称为V的维数，

记作dimV?n或维?V??n.称V为维线性空间.

如果V中有任意多个线性无关的向量，那么称V为无限维线性空间，记为dimV??.如果V??0?，那么称V是零维的，记为dimV?0.

注：○1线性空间V的基，实际上就是V的一个极大线性无关组.

2一个线性空间V有一组基?1,?,?n，取A???ij?n?n，当A?0时，令，其中○

为的列向量，令A??c1,?,cn?，其中c1,?,cn为A的列向量，令

?i???1,?,?n?ci?i?1,2,?,n?则可知?1,?,?n也是V的一组基.由此可知V的基不是

唯一的.

3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的. ○

34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？

答：1）数域P看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dimP?1. 2）复数域C看成实数域R上的线性空间，1,i是C的一组基，dimP?2.

3）实数域R看成有理数域Q上的线性空间，则dimP??.事实上，1,?,?,?是线性无关的.因为如果1,?,?,?,?线性相关的话，那么?是代数数了，而?是超越数.故对一切自然数n，向量组1,?,?,?,?都线性无关，由n的任意性，故dimP??.

4）全体正实数R，定义a?b?ab，k?a?ak，则R为R上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定??R,??1,???R??2n2n2???a?1?，有

???log????log?????，即?可由?线性表出，所以是一维的.

n?,0 5）数域P上的全体n元数组构成的线性空间P是n维的，?1??1,0,?，

?2??0,1,?,0?，?，?n??0,?,0,1?是一组基.

6）n元齐次线性方程组Ax?0（A为m?n矩阵，秩?A?=r）的解空间是n?r维的，其基础解系是它的一组基.

7）元素属于数域P的m?n矩阵的全体Pm?n的维数是mn.以Eij表示第i行第j列元素

m?n为1，其余元素为0的m?n矩阵，则Eij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?为P的一组基.

8）实数域上全体n级实对称矩阵构成的线性空间的维数是

n?n?1?2n?n?1?2.Eij?Eij?1?i?j?n?为一组基.

9）实数域上全体n级反对称矩阵构成的线性空间的维数是

.Eij?Eij?1?i?j?n?为一组基.

10）实数域上全体n级上三角矩阵构成的线性空间的维数是为一组基.

n?n?1?2.Eij?1?i?j?n??X111）全体形如??X20?n?n??P的矩阵（X1为r?r矩阵）构成的线性空间，因零块有X3?2r?n?r?个元素，所以线性空间的维数是n?r?n?r?.Eij?i?r,j?r;i?r,j?1,2,?,n?为一组基.

12）全体A?Pn?n且满足trA?0（A的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是

?n2?n???n?1??n2?1，除Enn外的一切Eij,i,j?1,2,?,n为一组基.

13）次数小于n的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间P?x?n的维数是n，

且1,x,x,?,x2n?1为一组基.

14）线性空间W?f?x?|f?x??R?x?n且f?1??0??的维数是n?1.且

xn?1?1,xn?2?1,?,x?1是W的一组基.

15）数域P上m元n次齐次多项式

f?x1,x2,?,xm??k1???km?n??kk12?kmkmk1k2x1x2?xm?ki为正整数?和零多项式构成的线性空间的维数是

?n?1??n?2????m?1??n?m?1?，x11x22?xmm

kkk?m?k?n??i?为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m种元?i?1?素中每次取n个元素的有重复的组合数，即?x1?x2???xm?展开后不同类的项数：

nnm?1Cm?Cn?m?1?Cn?m?1?n?n?1??n?2???n?m?1?.

m?1???

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