06-11大一高数试卷 必考

2006~2007高等数学A2 A卷

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．函数f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的 条件.

2．半径为a的均匀半圆薄片（面密度为?）对其直径边的转动惯量为 . 3．L为圆周x2?y2?a2，则4．函数f(x)????xL2?y2ds= . ?n??x,???x?0 的傅里叶级数展开式为

0?x???x,

?4?111?f(x)???cosx?2cos3x?2cos5x???cos?2n?1?x???2?2??35?2n?1???(???x??)，则级数1?111??????的和等于 . 22235?2n?1?5．方程xy??ylny?0的通解是 . 二、选择题（每小题3分，共15分）

??11?6．函数f?x,y??x?xy?y在点P(1,1)处沿方向l??,?的方向导数（ ）。

44??22(A) 最大; (B) 最小; (C) 1; (D) 0.

27．设区域D是由y?x?4,y?0围成，则I?。 ??(ax?y)dxdy?（ ）

D(A) I?0;(B) I?0;(C) I?0;(D) I的符号与a有关.

8．下列各式中正确的是（ ） (A)

axdy?bydx22，其中?0L:x?y?1 ，沿逆时针方向； ?Lx2?y2?3223???(B)??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy???

?5P?5Q?5R?dS；

????其中?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。

(C)

??R?Q???Q?P???P?R?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy??dx??dy??????????dz ???y?z?z?x?x?y???????其中?是?的边界曲线，且?的方向与?侧符合右手法则；

????(D) 向量场A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k的散度

???R?Q????P?R????Q?P?? divA????y??z??i???z??x?j????x??y??k.

??????9．级数

?(?1)n?1?nb?n为（ ）。 2n(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 收敛性与b 的取值有关； (D) 发散 .

10．设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)

的解，C1,C2为任意常数，则该方程的通解是（ ）。

(A) C1y1?C2y2?y3； (B) C1y1?C2y2??C1?C2?y3； (C) C1y1?C2y2??1?C1?C2?y3； (D) C1y1?C2y2??1?C1?C2?y3.

三、计算题（共70分）

11．（7分）求函数z?x3?y3?3x2?3y2的极值.

?2z12．（7分）z?f?x,xyz?,其中f具有二阶连续偏导数求:。

?x?y

13．（7分）计算积分I?

14．（7分）计算积分I?面围成的四面体。

15．（7分）计算曲线积分：I?

16．（7分）计算曲面积分

?10dx?1xy1?y3x2dy。

????1?x?y?z??dxdydz3，其中?是由平面x?y?z?1及三个坐标

axdy?bydx?Lx?y，其中L:x?y?2沿逆时针方向。

??x?2dydz?zdxdy，其中?为抛物面z?x2?y2介于z?0和

z?1之间的下侧。

17．（7分）求幂级数

??n?12nnxn的收敛域。

18．（7分）将函数f(x)?

19．（7分）求微分方程(1?x2)y???xy??0满足初始条件y(0)?0,y?(0)?1的特解。

20.（7分）设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0,f?(0)?1，已知

1展开成(x?1)的幂级数，并求f(n)(1)。 2x?4x?3?xy(x?y)?f(x)y?dx??f?(x)?x2y?dy?0

为全微分方程，求f(x)及此全微分方程之通解。

A卷 高等数学试题A2参考答案及评分标准

一. 填空题（每小题3分共15分） 1. 充分 2.

?8?a 3. 2?a42n?1?2 4. 5. y?ecx

8二. 选择题（每小题3分共15分）

6.（ A ） 7.（ C ） 8.（ B ） 9.（ B ） 10. ( D ) 三. 计算题（每小题7分共70分）

11．（7分）求函数z?x3?y3?3x2?3y2的极值.

2??zx?3x?6x?0解：由? ?1分? 2??zy?3y?6y?0得驻点：?0,0?，?0,2?，?2,0?，?2,2? ?2分?

zxx?6x?6，zxy?0，zyy?6y?6 ?3分?

2在驻点?0,0?处：A??6?0，B?0，C??6且B?AC??36?0，故?0,0?是极大点，

其极大值z?0,0??0 ?4分?

C?6且B2?AC?36?0，?5分? 在驻点?0,2?处：A??6，B?0，故?0,2?不是极值点，C??6且B2?AC?36?0，?6分? 在驻点?2,0?处：A?6，B?0，故?2,0?不是极值点，

2在驻点?2,2?处：A?6?0，B?0，C?6且B?AC??36?0，故?2,2?为极小点，

其极小值z?2,2??0 ?7分?

?2z12．（7分）z?f?x,xyz?,其中f具有二阶连续偏导数求:。

?x?y解：

?z?f1??f2??yz ?3分? ?x?2z???xyz2f22???zf2? ?7分? ?xzf12?x?y13．（7分）计算二次积分I??10dx?2x1xy1?y3dy。

解： I??10dx?2x1xy1?y3dy??dy?01yxy1?y30dx ?3分?

11y2??dy ?5分?

0321?y?13?2?1 ?7分?

?14．（7分）计算积分I?围成的四面体。 解：I?????1?x?y?z??dxdydz3，其中?是由平面x?y?z?1及三个坐标面

??1010dx?1?x0dy?1?x?ydz0?1?x?y?z?3 (3分)

?dx?1?x0?11????dy (5分) 28??2?1?x?y??111??????1?x???dx (6分) 02?4??1?x?81?1?5?ln2??? (7分) 2?8?15．（7分）计算曲线积分：I?axdy?bydx?Lx?y，其中L:x?y?2沿逆时针方向。

解：方法一 L?L1?L2?L3?L4

axdy?bydxaxdy?bydx1?????ax?2b?bx?dx?a?b， ?3分? ??x?y222L1:y?2?xL1:y?2?xaxdy?bydxaxdy?bydx1????ax?2b?bx?dx?a?b ?4分? ??x?y220L2:y?2?xL2:y?2?xaxdy?bydxaxdy?bydx1?????ax?2b?bx?dx?a?b ?5分? ??x?y22?2L3:y??2?xL3:y??2?xaxdy?bydxaxdy?bydx1????ax?2b?bx?dx?a?b ?6分? ??x?y220L4:y??2?xL4:y??2?x2020?I??axdy?bydx?4?a?b? ?7分?

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