2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题

2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题

1.删去正整数数列1,2,3,??????中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2010 项是_____________.

2.全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是_____________.

3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，AB?a,BC?b,AE为D1C11A?c，中点，若平面A1BC1与平面ACE所成二面角的平面角为?，则

D1A1cEB1C1Sin??____________________．

4.设正数数列{an}的前n项之和为bn，数列{bn}的前n项之积为cn，且

DbaCBA1bn?cn?1，则数列{}中最接近2010的数是 .

an5.(10?3)2n?1(n?N)的整数部分和小数部分分别是A、B，则B(A?B)? . 6.如图, M,N分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且

F E AMCN???,若B,M,N三点共线,则?=______________ ACCE7.对于给定的正整数n,则由直线y?n与抛物线y?x所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为________________

22A M B N D

C 428.已知复数z1在z1?1的条件下变动,而z?2009?2010?z1?1?2z1,则复数z对应点的形成

的区域图形的面积是 .

9.若P为?ABC内任一点，求证?PAB、?PBC、?PCA中至少有一个小于或等于30?；10.已知数列{an}由a1?2222,an?1?an?an?1??a1,(n?N*)确定.若对于任意n?N*，3111????M恒成立。求M得最小值。 a1?1a2?1an?111.双曲线3x?y?24x?36?0的右焦点为F，右准线为l.椭圆C以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y?x的直线交椭圆C于点A和B.已知C的中心P在以AB为直径的圆内，求椭圆C的离心率e的取值范围。

22二试

一、（40分）圆O是△ABC的内切圆．D、E、F是BC、CA、AB上的切点，DD?，EE?，

FF?都是圆O的直径．求证：AD?，BE?，CF?共点．

二、（40分）求出所有满足下列条件的正整数数列x1,x2,x3,（1）对每个正整数n，xn?nn （2）对任意不同的正整数m、n，有(m?n)|(xm?xn)

三、（50分）设n为任意给定的正整数，T为平面上满足x+y

四、（50分）求所有正整数n,使得可将1，2，…，3n列成3×n数表 a1 a2 … an b1 b2 … bn c1 c2 … cn

满足如下两个条件：(1). a1+b1+c1=a2+b2+c2=…=an+bn+cn ,且为6的倍数；

(2).a1+a2+…+an=b1+b2+…bn=c1+c2+…+cn,且为6的倍数.

,xn,

2010年全国高中数学联赛模拟试卷(参考答案)

1.在数列1,2,3,???,2010中,删去了44个(44?1936)完全平方数,现给该数列再补上44 项,得2,???,2003,???,2047.所补的44个数中还有1个(2025?45)完全平方数,把它删除, 再补上一项2055即可.

2.解一：门票收入不低于500万元?比赛进行了5场或6场或7场。

2213111

22241151313C5·()·(1?)2·?赛6场的概率P2?C2·

222161151313C6·()·(1?)3·?赛7场的概率P3?C2·

22216C4·()·(1?)·?赛5场的概率P1?C2·13赛5场或6场或7场两两不能同时发生，故门票收入不低于500万元的概率

P=P1 + P2 + P3 =0.875

解二：恰为赛4场的概率为P’; P'?C2()?11241 817? 88故门票收入不低于500万元的概率P?1?P'?1?3.设D1AC中AC边上的高（即D1到AC距离）为h，则 h?2S?D1ACab2c2?c2a2?a2b2. ?a1a2b2?4b2c2?4c2a2. 2 又求得 S?EAC? 设C到平面D1AE的距离为d, 于是,由VD1?EAC?VA?ED1C 得到

11?34111a2b2?4b2c2?4c2a2=??ac?b,

322 ∴d?abcab?4bc?4ca222222.

da2bc ∴Sin???

222222222222hbc?ca?ab?ab?4bc?4ca4. 解：由已知bn?cn(n?2)，c1?b1 cn?1∴

1cn11?cn?1，c1?b1?∴??1

2cncn?1cn?1∴{1}是以2为首项，以1为公差的等差数列 cn∴

1n1∴bn? ?2?(n?1)?1?n?1∴cn?n?1n?1cn∴an?bn?bn?1?nn?11 ??n?1nn(n?1)∴

1?n(n?1)∵44?45?1980,45?46?2070 an1}中最接近2010的数是1980 an∴数列{5. 解：考虑(10?3)2n?1(n?N)∵(10?3)2n?1?(10?3)2n?1?1 ∴(10?3)2n?1?11由二项式定理， ?2n?1A?B(10?3)2n?122n?1?C2]n?1(10)?312n32n?2(10?3)2n?1?(10?3)2n?1?2[C2?33?n?1(10)?3?C2n?1(10)1是整数 A?B1又A是整数∴B?是整数

A?B111?1∴B??0∴B?又0?B?1，0?∴B(A?B)?1 A?BA?BA?B是整数，即A?B?6. 延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP=

3 由AM??AC，可得：CM??1???CA，又CP?3CB，CA是PCE边上的中线，

CN??CE，则有CA?1113CE?CP，即：CM?CN?CB，整理得： 21??2?2??3?1???1??CM?CN?CB，因为当B，M，N三点共线时，存在实数t使得

2?21??3?1???3??1，解得??。 CM??1?t?CN?tCB，故2?2322227. 直线y?n与抛物线y?x的交点An,n,B?n,n，设直线x?k上位于区域内的线段为2222CD，其端点坐标为Ck,n,Dk,k，则线段CD上的整点数为n?k?1，

????????k???n,????1,0,1,2,???n?，故区域内的整点数为：

k??n??nn2?k?1??2n?1?n?1?2?k2?22k?1???n1?2n?1?2n2?n?3 3??8. ?z1?1?2z1?z1?1z1?1,设z1?x?yi,则有x2?y2?1,

4222?z14?1?2z12?z1?1z1?1=4(1?x)(1?x)?4(1?x2)(?1?x?1)

易知z1?1?2z142max22?4,z14?1?2z12min?0,

故0?z?2005?2006,2006)为i?4,所以复数z对应点的形成的区域图形是一个以点(2005圆心,4为半径的圆面,其面积为16?。

2.若P为?ABC内任一点，求证?PAB、?PBC、?PCA中至少有一个小于或于等30?；证：设?PAB??、?PBC??、?PCA??，且?PAC??'、?PBA??'、?PCB??';PAsin??PBsin?'??依正弦定理有PB：sin??PCsin?'??sin?sin?sin??sin?'sin?'sin?'PCsin??PAsin?'???(sin?sin?sin?)2?sin?sin?sin?sin?'sin?'sin?'sin??sin??sin??sin?'?sin?'?sin?'6)6

???????'??'??'1?sin6()?()662?(

1?sin?sin?sin??()321

2???30?,否则??150?时，?、?中必有一个满足??30??在?、?、?,中必有一个角满足sin??210. 由题可知，n?2时，an?1?an?an，又a2?a1?2411?()2?，不妨设9331b1?,bn?an(n?2)，则bn?1?bn2?bn(n?N*)。

3我们用数学归纳法证明

3b?1111(*) ?????n?1b1?1b2?1bn?1bn?1当n?1时，b2?43b2?1313,?,?，所以n?1时(*)式成立。 9b24b1?14假设n?k时，

3b?1111， ?????k?1b1?1b2?1bk?1bk?1则n?k?1时，

3b?13b(1?bk?1)?111111 ??????k?1??k?1b1?1b2?1bk?11?bk?1bk?11?bk?1bk?1(bk?1?1)

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