洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案(2)

(4) 当且仅当A?C，有A?(B?C)??

答：不正确，因为A?(B?C)?A?B?C?，因此不一定需要满足A?C，而若例如：A?{a,b,c}，B?{d,e}，C?{a,b}，A?(B?C)??A?B??也可以满足。成立，而A?C不成立。

(5) 当且仅当B?C，有(A?B)?C?A

答：不正确，因为若B?C，有(A?B)?C?A成立，但是反之不成立，反例如下:A?{1,2,3,4,5}，B?{1,6}，C?{1,2}，而A?B?{2,3,4,5}，

(A?B)?C?{1,2,3,4,5}，但是B?C不成立。

14、 设A,B,C,D是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D)

答：正确，证明：对?a?A?C，则a?A或a?C，因为A?B,C?D，因此a?B或a?D，因此a?B?D，即A?C?(B?D)成立。 (2) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D) 答：正确

(3)若A?B，C?D，则A?C?(B?D) 答：正确

(4) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D)

答：不正确。例如若A?B,C?D，但是A?C??，B?D??，则

??A?C?(B?D)??。 15、 设A,B是两个集合，问：

(1)如果A?B?B，那么A和B有什么关系？

答：因为A?B?B，而A?B?A?B??B，即对?a?B有a?A,a?B?，因此

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A?B??。

(2) 如果A?B?B?A，那么A和B有什么关系？

答：充要条件是A?B。证明：因为A?B?B?A的(A?B)?A?(B?A)?A，从而有A?A?B，即A?B，同理可证明B?A，因此A?B。

16、 设A,B是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 2A?B?2A?2B

答：不正确。例如A?{a,b}，B?{b,c}，则A?B?{a,b,c}

2A?B?{?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 2A?{?,{a},{b},{a,b}}，2B?{?,{b},{c},{b,c}} 显然2A?B?2A?2B不成立。 (2) 2A?B?2A?2B

答：成立。证明：对?C?2A?2B，则C?2A且C?2B，则C?A,C?B，则

C?A?B，B，因此C?2A?B。反之，若?C?2A?B，则C?A?则C?A且C?B，

因此C?2A，且C?2B，因此C?2A?2B，即2A?B?2A?2B。 (3) 2A??(2A)?

答：显然不成立，因为左边集合肯定含有?，而右边不含有。

17、 在一个班级的50个学生中，有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?

答：分别用A,B表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，U表示全体学生集合：则#(A)?26，#(B)?21，#(A?B)?50?17?33，则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。

18、 设A,B,C是任意集合，运用成员表证明： (1) (A?B)?(A??C)?(A?C)?(A??B) 证明：

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A B C A? A??C A?B A?C A??B 左边 右边 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 (3) A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 证明： A B C A?B A?C (A?B)?(A?C) B?C A?(B?C) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 由上得证左右两边相等。

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 19、由S和T的成员表如何判断S?T？应用成员表证明或否定

?) (A?B)?(B?C??A? B答：先分别给出集合(A?B)?(B?C)?和A?B?的成员表如下： A B C A?B B?C (B?C)? (A?B)?(B?C)? B? A?B? 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 观察上述表格，我们发现(A?B)?(B?C)?所标记的列中，仅在第五列为1，这

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意味着当元素u?A,u?B且u?C时，u?(A?B)?(B?C)?，而在其他情形下，元素u?(A?B)?(B?C)?。而集合A?B?所标记的列中，第五和第六行均为1，这意味着u?A,u?B且u?C时，u?A?B?，当u?A,u?B，且u?C时，也有

u?A?B?。所以当元素u?(A?B)?(B?C)?时也有u?A?B?，反之不然，因

此(A?B)?(B?C)??A?B?成立。

20、A1,A2,,Ar为U的子集，A1,A2,,Ar至多能产生多少不同的子集？

答：构造由A1,A2,显然该成员表由2r个行所组成。,Ar所产生的集合的成员表，

0~1111

1分别表示，而不同

2r在该成员表中不同的列可由2r为的二进制数000的列所标记的集合 不相同的，因此由A1,A2,合。

21、证明分配律、等幂律和吸收律9? 1分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

,Ar至多可以产生2个不同的集

证明：对?a?A?(B?C)，则有a?A且a?B?C，即有a?A，且a?B或a?C，也即有a?A?B或a?A?C，即a?(A?B)?(A?C)，因此左边?右边。 对?a?(A?B)?(A?C)，则a?A?B或a?A?C，即a?A且a?B，或a?A且a?C，即有a?A或a?B?C，因此a?A?(B?C)，因此右边?左边。

2 吸收律A?(A?B)?A

证明：A?(A?B)?A显然成立，对?a?A，则显然有a?A?B，因此有

a?A?(A?B)，因此有A?A?(A?B)成立。

22、设A,B,C是任意集合，运用集合运算定律证明： (1) B?((A??B)?A)??U

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左边?B?(A??B)??A?证明：?B?(A?B?)?A??B?((A??A)?(A??B))

?B?(U?(A??B))?B?(A??B)?U?右边(2) (A?B)?(B?C)?(C?A)?(A?B)?(B?C)?(C?A)

左边?(B?(A?C))?(C?A)?((C?A)?B)?((C?A)?(A?C))证明：

?(C?B)?(B?A)?((A?C?A)?(A?C?C)?(C?B)?(B?A)?(A?C)?(A?C)?右边(3) (A?B)?(B?C)?(A?C)?(A?B)?(A??B?C)?(A?B??C)

右边?(B?((A??C)?A))?(A?B??C)?(B?(A??A)?(A?C))?(A?B??C)?(B?(A?C))?(A?B??C)?(B?A)?(B?C)?(A?B??C)证明：

?(B?C)?(A?((B??C)?B))?(B?C)?(A?(B??B)?(B?C))?(B?C)?(A?(B?C))?(B?C)?(A?B)?(A?C) 由上题的证明可知左边=右边，得证。

23、用得摩根定律证明(A?B?)?(A??(B?C?))补集是

(A??B)?(A?B?)?(A?C)。

((A?B?)?(A??(B?C?)))??((A?B?)?)?(A??(B?C?))?证明：?(A??B)?(A?(B?C?)?)?(A??B)?(A?(B??C))

?(A??B)?(A?B?)?(A?C)

24、设Ai为某些实数的集合，定义为

A0?{a|a?1} 1Ai?{a|a?1?}(i?1,2,)i?试证明：

i?1Ai?A0

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