大连理工大学网络教育学院
自动控制原理辅导资料十三
主 题：离散控制系统的辅导文章——Z变换理论 学习时间：2011年7月4日－7月10日
内 容：
我们这周主要还是学习课件第7章离散控制系统的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对离散控制系统的相关知识的理解。
Z变换又称为离散拉普拉斯变换，是分析离散系统的重要数学工具。 注意：请同学根据老师标注的侧重点选择性学习。
一、Z变换（了解定义） 1.Z变换定义
连续时间函数x(t)经采样周期为T的采样开关后，得到离散信号x*(t)，即
对上式进行拉氏变换，可得
式中X*(s)是离散时间函数x*(t)的拉氏变换。
Z?eTs
式中，T为采样周期。
因此，得到以Z为变量的函数X(z)：
X(z)??x(kT)z?k
k?0?? 2.Z变换方法
1）级数求和法：公式X(z)??x(kT)z?k是离散函数x*(t)的Z变换的级数展
k?0??开式，将其改写成X(z)?x(0)?x(T)z?1?x(2T)z?2???x(kT)z?k??，该式为Z变换的一种级数表达式，所以，只要知道连续时间函数x(t)在各个采样时刻kT上的采样值x(kT)，便可求出Z变换的级数展开式。
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2）部分分式法
设连续时间函数x(t)的拉普拉斯变换X(s)为有理函数，并有如下形式：
M(s)b0sm?b1sm?1???bm X(s)??nn?1N(s)a0s?a1s???an 将X(s)展开成部分分式和的形式，即
X(s)??i?1nAi s?si 由拉普拉斯变换知，与的Z变换为
AiAi?sit项相对应的时间函数为Ae，与项对应is?sis?siAiz,因此，函数x(t)的Z变换便可由X(s)求得为
z?e?siTX(z)??i?1nAiz ?siTz?e 3）留数计算法
假如已知连续时间函数x(t)的拉普拉斯变换X(s)及全部极点
si(i?1,2?,3,n，则,x(t)的Z变换X(z)可通过留数计算求得。
二、Z变换性质（需要重点掌握的内容） 1.线性定理
设函数x(t)、x1(t)、x2(t)的Z变换分别为X(z)、X1(z)、X2(z)，a、b为常数，则有
Z?ax1(t)?bx2(t)??aX1(z)?bX2(z)
此定理可由Z变换定义直接证得。
2.时移定理
设x(t)当t?0时为零，且具有Z变换X(z)，则有
Z[x(t?nT)]?z?nX(z)
3.初值定理
如果函数x(t)的Z变换为X(z)，并且t?0时有x(t)?0，则有 limx(t)?limX(z)
t?0z??4.终值定理
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如果函数x(t)的Z变换X(z)的极点均位于Z平面的单位圆内，且不含有z ?1的二重以上的极点，则x(t)的终值
limx(t)?lim(z?1)X(z)
t??z?1 三、Z反变换方法（需要掌握的内容）
根据X(z)求离散时间信号x*(t)或采样时刻值的一般表达式x(kT)的过程称为Z反变换，并记为Z?1?X(z)?。 三种常用求Z反变换的方法
1. 长除法：由函数的Z变换表达式，直流利用长除法求出按z?1升幂排列的级数形式，再经过拉普拉斯反变换，求出原函数的脉冲序列。
2. 部分分式法：通过部分分式法求取Z反变换的过程，与应用部分分式法
求取拉普拉斯反变换很相似。 3. 留数计算法：又称反演积分法。 四、典型例题解析
1.Z变换又称为( )，是分析离散系统的重要数学工具。 A.连续拉普拉斯变换 B.线性拉普拉斯变换 C.离散拉普拉斯变换 D.非线性拉普拉斯变换 答案：C
2．设连续信号为e(t)?e?t，试按采样定理选择频率。（第十二周思考题答案） 解：求连续信号的拉式变换 E(s)? 其频率特性 E(j?)? 幅频特性为 E(j?)?11??21 s?11 j??1 第3页 共4页
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若在E(j?)?0.05E(0)处截断，可求频带宽度
11??b2?0.05，?b?20rad/s
如图1所示，由采样定理可求采样频率 ?s?2?b?40rad/s
图1
五、思考题（答案解析请见第十四周辅导资料） 已知连续时间函数x(t)的拉普拉斯变换为X(s)?
a，求其Z变换。
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