六年级奥数-第六讲立体几何 教案(2)

【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12?7:5:4，为了方便起见.我们先考

虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

因为7?5?4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．

那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下

的体积应是：21?15?12?123?93?63?1107（立方厘米）.

3121212129312996666??9

【例 12】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色

不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块

A

【例 13】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5?5?5的立方体，

在一个方向上开有1?1?5的孔，在另一个方向上开有2?1?5的孔，

在第三个方向上开有3?1?5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

【解析】 求体积：

开了3?1?5的孔，挖去3?1?5?15，开了1?1?5的孔， 挖去1?1?5?1?4；开了2?1?5的孔， 挖去2?1?5?(2?2)?6，

剩余部分的体积是：5?5?5?(15?4?6)?100．

(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：

得到总体积为：22?4?12?100． 求表面积：

表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5?5?6?12?138，内部的面积可以分为前

后、左右、上下三个方向，面积分别为2??2?5?1?5?1?2?1?3??20、 2??1?5?3?5?1?3?1??32、2??1?5?1?5?1?1?2??14，所以总的表面积为

138?20?32?14?204．

(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32

上下方向：30 左右方向：40

112111121122222221121111211121211222111111211122211222221221222112221 总表面积为2??32?30?40??204．

【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条

线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！

【例 14】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三

角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺

⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．

⑺⑾⑼⑽⑸⑻⑹⑵⑴⑷⑶

【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：

其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．

对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分． 由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．

对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去ABDA1、CBDC1、D1AC相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切11D、B1A1C1B)；而对于右图来说，

去BACB1、DACD1)．

BACABCDB1C1D1A1B1DC1

假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的

111立体图形的体积为：a3?a2?a??4?a3，

233A1D1

112以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3?b2?b??2?b3．

233由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b?2a．

那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图

12123形的体积的比为：a3:b3?a3:??2a??1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图

3333的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．

【例 15】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个

物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)

0.511.5111

2【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2?3.14?1.5?14.13(立方米)，侧面积为

2?3.14?(0.5?1?1.5)?1?18.84(立方米)，所以该物体的表面积是14.13?18.84?32.97(立方米)．

【例 16】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，

再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π?3.14)

【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面

面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．

可知，圆柱体的高为50.24?3.14?22?4(厘米)，所以增加的表面积为2?4?2?16(平方厘

??米)；

(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14?2?6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24?6.28?8平方厘米，所以增加的表面积为8?2?16平方厘米

【例 17】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数

据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)

61084(单位：厘米)

【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中

的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10?8?2厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分

4之和，所以瓶子的容积为：π?()2?(6?2)?3.14?32?100.48(立方厘米)．

2

【例 18】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面

半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？

【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中

体积之和，因而水深为：

52???15?22???1752???17.72(厘米)．

它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中． 于是所求的水深便是17.72厘米．

【例 19】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯

中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？

【解析】 两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，

11所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的，即2??0.5(厘米)．

44

21【例 20】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，

33比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？

乙甲21【解析】 设圆锥容器的底面半径为r，高为h，则甲、乙容器中水面半径均为r，则有V容器?πr2h，

33122281122219V乙水?π（r）?h?πr2h，V甲水?πr2h?π（r）?h?πr2h，

33381333381192V甲水81πrh1919??，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍． 82V乙水8πrh881

【例 21】 (2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有

一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．

20cm8cm100cm22

??20??8??【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：?π????π?????100?8400π(立方厘米)，薄膜展开后

22????????为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为

8400π?0.04?659400平方厘米?65.94平方米．

另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．

?20??8?由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为π????π????84π(平方厘米)，展开后

?2??2?为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π?0.04?6594厘米，所以展开后薄膜的面积为6594?100?659400平方厘米?65.94平方米．

【例 22】 如图，ABCD是矩形，BC?6cm，AB?10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)

22AEDAEDOO

【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．

1两个圆锥的体积之和为2??π?32?5?30π?90(立方厘米)；

3圆柱的体积为π?32?10?270(立方厘米)，

所以白色部分扫出的体积为270?90?180(立方厘米)．

【例 23】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在

上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．

BFCBFC

【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．

外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：10?10?6?4?4?4?π?22?2?536?8π(平方厘米)；

内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：

4?3?16?2??4?4?π?22??2π?2?3?2?192?32?8π?24π?224?16π(平方厘米)，

所以，总表面积为：224?16π?536?8π?760?8π?785.12(平方厘米)．

⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，

用原立方体的体积减去这个体积即可．

π?256?24π(立方厘 挖出的几何体体积为：4?4?3?4?4?4?4?π?22?3?2?192?64?24米)；

所求几何体体积为：10?10?10??256?24π??668.64(立方厘米)．

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