一式解万方——魔方通解法则

一式解万方——魔方通解法则

本文来源于魔方博客 http://www.mfblog.org/ , 原文地址：http://www.mfblog.org/qu-wei-mo-fang/178/

作者：邱志红

-------- N 阶魔方的公式解

为了得出 N 阶魔方的公式解法，我花了很多心思( 还谈不上心血 )。我是学数学的，于是我就想方设法动用了很多数学工具。为了公式的完美，我又对转动的描述法等作了多次修改。现在以飨读者。

首先还是说一下我的方法的优点吧。

1.它完全可以解 2 阶或以上的立方体魔方。当然不包含联体的魔方。

2.它不但可以解 N 解魔方的表层，还可以解魔方的内层，从而完全复原魔方。

3.中心块问题也在该方法的解决范围之内。还有相应的面块问题的解决。

4.操作可运算，能得到一个操作从不同方位的描述。方便了不同习惯的玩家。

5.简单易学，容易理解。操作简单有很强的规律性。

6.变化多样，有待进一步研究和开发。是学习和研究魔方的一手上好的资料。

7.当然最诱人的是，该方法只使用一个公式( 包括一些必要的变换等 )。

8.描述法及相关变换对长方体型的魔方也完全适用。

文章比较长，以下为目录索引：

目录：

一、坐标体系

二、右手法则

三、转动的描述

四、操作序列的运算

五、操作序列的运算的意义

六、旋转及旋转变换

七、相似及相似变换

八、至关重要的操作

九、魔方小块的分类

十、N 阶魔方的复原

一、坐标体系

N 阶魔方是一个空间的立方体，为了方便研究，我引入了数学里面的坐标系的概念。但不是直接引用常规的笛卡儿直角坐标系。而是我因地制宜而建立的一套新的直角坐标体系。

它的起点分别在立方体的 6 个面的面心。6 个轴的方向都指向立方体的中心，然后终于各自对面的面心。如下图：( 应该是终于各自对面的面心的，不容易画就没画，见谅 )

图中的 6 个轴指的方向和一般的笛卡儿直角坐标系是一致的。还是数学里面的方向指向。特别地一般的坐标系是三个坐标轴，每个又分别分为正负两个半轴。这里的坐标系不同，是 6 个轴 ( 全轴非半轴 )。6 个轴指的方向都是各自的正方向，没有负方向。图中 -x 方向不能说是 x 的负方向，只能说是 -x 的正方向。以后说 -x 方向就是指的 -x 的正方向，不在重复了。这样就有 6 个正方向了。

就这么多了。下面来介绍我关于转动的描述。

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二、右手法则

这里插入一节，讲一讲右手法则：右手标架是指伸出右手的大拇指，食指和中指，三者是三垂直的，就象一个坐标架一样。而且令三者分别指代 x,y,z 的正方向，则刚好与笛卡儿直角坐标系是一致的。所以右手标架可以很容易的确定 x,y,z 三个正方向之间的关系，也

很形象，便于记忆。如下图：

各位可以拿出右手来比划比划一下，很容易理解和记忆的。

右手螺旋法则：右手四指握紧，大拇指朝上。然后大拇指指向某个正方向，那么四指弯曲的方向就是该正方向对应的旋转的正方向。如图：

发现旋转的正方向就是平常所谓的逆时针方向。这样很容易产生混淆。建议：为了学习我的方法就必须该掉习惯，使用右手螺旋法则而不去使用顺逆时针的法则。

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三、转动的描述

垂直于 x 方向的有 n 个层。按照其方向，分别称之为 X1，X2，1,X3?? Xn，。再看看 -x 方向。垂直于 -x 方向也有 n 个层。按照其方向。分别称之为 -X1，-X2，-X3 ?? -Xn、可以发现同一个层有两种表示法、这不是很奇怪的事情。就象 1 可以写为 1 或 -(-1) 一样，是可以理解的。同一个层 Xa 和 -Xb 满足 a+b=n+1. 注意：它们两者的意义是不完全相同的，虽然表示的是同一个层。同理 y,-y,z,-z 方向也如此。

上段中的 n 与标题中的 N 的意义是一样的，一个方便讨论，一个是做标题的需要，更醒目些。所以不要误解。后面对 n 与 N 是不加区分的。特此说明。

现在开始讲难理解的部分。有了上一节作铺垫，应该好理解一些了。如上图垂直于 x 方向的 n 个层，如果按右手螺旋法则正方向旋转 n×90 度则记为 Xan。它是 4 周期的，一般也只取 1,2,3 就可以了。为了记录方便。

Xa1就将上标 1 省去，简记为Xa。

Xa2，不变。你要记为Xa-2我也没办法。

Xa3根据周期性记为 Xa-1，也是省去上标中的 1. 简记为Xa-。

同样 -x 方向也是一样的。此时的正方向为 -x 方向，与上面的刚好相反，旋转的正方向也相反。如上图垂直于 -x 方向的 n 个层，如果按右手螺旋法则正方向旋转 n × 90 度则记为 -Xan。上标的处理同上。现在你就会发现同一个层Xa和-Xb满足 a+b=n+1. 它们两者的意义是不完全相同的。如果将它们理解为一个转动过程时就可以看到这一点。如下图：

我是以面代层的。为了演示的方便，用的是 y 与 -y 方向。发现两者都是描述某一个层的

转动，但两者描述的旋转方向是相反的。原因是因为两者转轴的正方向是相反的。两者互为逆操作。于是某一个层转动就有两种描述。例如：Xap可以描述为-Xn+1-a-p。

一般的Uap=-Ubq。满足 a+b=n+1 且 p+q=4t. 其中 U ∈ ｛ X,Y,Z ｝，t ∈ Z.

多个转动操作就构成一个操作序列。如X52-Z2-X1Y32。

一个转动有两种描述法，可能大家会觉得很烦琐，但后来会发现这样做是很有必要的，在处理很多问题的时候显得很灵活。更重要的是可以使公式既简洁又系统，还方便了运算。

下面要讲的东西是前无古人的。就是操作序列的数学运算。也正我引用 X,Y,Z 系统来描述魔方转动的原因。

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四、操作序列的运算

这里有空间解析几何的知识：右手标架和外积。外积用“ 叉乘 ”：×。内积用“点乘”：·。这里只讲外积。两个矢量 a,b.a × b=c. c 矢量同时垂直 a,b. 且 a,b,c 构成右手系即按右手标架的顺序排列。与 b × a=d 是不同的。d 矢量同时垂直 a,b. 且 b,a,d 构成右手系即按右手标架的顺序排列 .d=-c. 所以外积是满足反交换的。即 a × b=-b × a. 外积是严格讲顺序的。

由于 X,Y,Z 构成右手系 ( 注意 :X,Y,Z 的顺序不是随意的 .Y,X,Z 就不构成右手系 ), 那么自然有 X×Y=Z, 还可以轮换即 Y×Z=X,Z×X=Y. 这里把 X,Y,Z 都默认为单位矢量，方便了运算。

按照外积的反交换律 ,Y × X 等我就不多说了。而 X×(-Z)=-X×Z. 计算的时候可以不管前面的“ - ”。于是 X×(-Z)=-X×Z=-(-Y)=Y. 当然还有 X × X=0,Y × Y=0,Z × Z=0. 这就是 X,Y,Z,-X,-Y,-Z 它们之间的“叉乘”关系。

上面讲的是理论上的，还要兼顾实际。X×X=0,Y×Y=0,Z×Z=0 在实际运用中就有问题，于是这里特别规定 U×(±U)=U.U ∈｛X,Y,Z,-X,-Y,-Z｝。特别注意：U 是含符号的。

上面讲的东西马上就可以应用到操作序列里面。如X52-Z2-X1Y32 。

那么(X52-Z2-X1Y32)×Y=Z52X2-Z1Y32。是另外的一个操作序列了。运算的时候上标和下标不参与，只是转轴进行运算。可以多次运算，如 (X52-Z2- X1Y32)×Y×X2。乘的时候严格按顺序来。前面式子中有×X2。就是连续叉乘两次，即×X×X. 还有叉乘三次的如×Z3。其实算来和×(-Z)是一样的。这里不证明了。后面由几何意义可以直观明了地看出来。

下面就来看看其几何意义 ( 也比较难理解 ). 只看一次操作就可以了。如图-Yb和-Yb

×Z=-Xb的关系。图中没有画 Z 轴和 -Z 轴。还是以面代层 .b 表示某个方向的第 b 层。

第一和第二图分别代表实际的转动，暂看不出什么。来看第三个图。其实和第二个图意思是一样的，只是方位不同。再看一，三两个图的关系。发现可以看成是转动的位置没变，只是整个坐标系包括 Z 轴和 -Z 轴在内以 Z 方向为轴正转 90 度。这就是× Z 的意义之所在。但实际操作时总还是将坐标系固定。你可能要说是魔方在整体转动，其实魔方也没有动，可以假想为它在动而已。那什么东西动了呢 ? 是看不见的“操作”在动，是某个方法在变化，是属于软件的范畴，所以看不见。看不见但照样可以认识它，通过它造成的影响来认识它。所谓风吹草动，观草动而知风吹，说的就是这个道理。

举一个实际的例子可能大家理解得快一点。就说两个相邻的角块的原地自转 1/3 的问题。

特别声明：没有特别指出时，后面出现的配图及讨论都是相对魔方的原始态 ( 复原态 ) 而言的。

大家用的方法都不一样，所以我也不好写具体步骤了。就假设作成第一个图中的状态用的是一系列操作 A 吧。这是习惯最后一层在底面完成的人的做法 ( 各位很不幸，我就是这种习惯 ). 而所谓的大部分人都习惯最后一层在顶面完成。如果教的人 ( 我 ) 是用的是左图中的习惯，教的是操作 A, 而你习惯右图中的习惯，该怎么办 ?

其实好办，用 A×(-X) 就行了，步数是一样多，没有增加步数。再看 A 与 A×(-X), 坐标系是转动的参照，是铁定不会动的。而魔方整体也没动，两次都是红面心朝前，蓝面心朝右，黄面心朝上，一目了然。就是操作动了，导致效果动了。操作 A 叉乘 -X, 就导致操作的效果以 -X 方向为轴轴逆转 90 度。不是正转 90 度。这很容易弄错(我有时候也被弄糊涂了), 要小心。好好理解一下这时候的对应关系吧。操作的效果是反对应的。

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五、操作序列运算的意义

上面一节已经隐含地讲了一些意义了。操作序列的运算方便了不同习惯的玩家，使玩家能很容易地把他人的方法转化为符合自己习惯的方法，而且转化方便易行。前提是转动的描述法都使用我提出的转动描述法。即我现在提出的 X,Y,Z 描述系统。即使使用我以前提出的 X,Y,Z 描述系统也是不行的。

现在盛行的描述法用的是 L( 左 )R( 右 )B( 后 )F( 前 )D( 下 )U( 上 ) 系统。它在三阶魔方转动的描述还算差强人意。一到三阶以上魔方的描述就不行了，版本多而杂。动用了坐标系而不用 XYZ, 简直就一 “四不象”。对于中间的各层的转动描述更是乱而且烂，老是分情况描述，象搞特殊化一样。当然更不可能满足不同习惯的玩家。居然还称之为 “ 魔方术语 ” 充内行。是不是觉得别的描述法都是旁门左道，不够专业，只有该方法才是正统。

我的描述法的好处大家都有目共睹。不搞特殊化 :2 － n 阶都一样描述，奇数阶和偶

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