弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答(2)

?(??f)?ndS???f?dr???ydx?xdy?0。

Scc第三章

??r?u。求3.1设r是矢径、u是位移，r逆 的二阶张量。 解：

??drdr，并证明：当ui,j??1时，是一个可drdr?drdudr???I?u? drdrdr?dr?I?u?的行列式就是书中的式(3.2)，当ui,j??1时，这一行列式大于零，所dr?dr以可逆。 dr

3.2设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，即

称张量Ω?(u???u)/2及其轴向矢量ω。 解：u??A，ε? ω?A和r无关。求应变张量ε、反对

11(A?AT)，Ω?(A?AT)， 2211???u?ei?Ajkej?ek?xlel 22?xi111 ?Ajkeijmem?ek??ilel?Ajkeijmem?ki?Ajieijmem

222

3.3设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，且ui,j?1。请证明：

(1)变形前的直线在变形后仍为直线；

(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；

(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为r0的点的直线方程可以写成

r?ta?r0 (1) 其中t是可变的参数。变形后的矢径为

??r?u?r?A?r?(I?A)?r (2) r 用I?A点积式(1)的两边，并利用式(2),得

??t(I?A)?a?(I?A)?r0 r 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量(I?A)?a平行，过矢径为(I?A)?r0的点。

所以变形前的直线变形后仍然是直线。 6

(2)因为

ui,j?1，所以I?A可逆。记B?(I?A)?1，则

??B?r? (3) r?(I?A)?1?r 变形前任意一个平面的方程可以表示成

a?r?c (4) 其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4)，得

??c (5) (a?B)?r 上式表示的是和矢量a?B垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。

(3)变形前两个平行的平面可以表示成 a?r?c1，a?r?c2 变形后变成

??c1，(a?B)?r??c2 (a?B)?r 仍是两个平行的平面。

3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间

夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。

3.5设位移场为u?A?r，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹

角为?。求变形后?的减小量。 解：n和m方向的正应变分别为 ?n?n?ε?n，?m?m?ε?m

用?n和?m代替式(3.11)中的?1和?2，经整理，得?的减小量??为

2n?ε?m?ctg?(n?ε?n?m?ε?m) sin? 又ε?(A?AT)/2，所以

1 ???n?(A?AT)?m?ctg?(n?A?n?m?A?m)。

sin? ???

3.6设n和m是两个单位矢量，dr?ndr和?r?m?r是两个微小的矢量，变形前它们

A?dr??r，试用应变张量把变形时它的面积变化率

?A/A表示出来，其中?A是面积变形前后的改变量。 解：变形后，dr和?r变成

??d???r?ε??r?ω??r r?ε?rdω??rd，?r dr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得

???r??dr??r?dr?ε??r?dr????r dr所张的平行四边形面积为

对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得

7

???r?)?(dr???r?) (dr ?(dr??r)?(dr??r)?2(dr?ε??r)?(dr??r)?2(dr????r)?(dr??r) (a)

注意到

???r?)?(dr???r?)?(A??A)2?A2?2(?A)A (dr(dr??r)?(dr??r)?A2

?A(dr?ε??r)?(dr??r)?(dr?ε??r)?(dr??r)? A(dr??r)?(dr??r)?(n?ε?m)?(n?m)?(n?ε?m)?(n?m)

(n?m)?(n?m) 所以，从式(a)可得

利用习题2.4中的等式，上式也可写成

3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为?ij，让坐标系绕z轴转动?角，得一个新的坐

标系，求在新坐标系中的应变分量。 解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0， ?2?1??sin?，?2?2?cos?，?2?3?0， ?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。 ?x???A?n?ε?n?2(n?ε?m)(n?m)?m?ε?m A1?(n?m)2?cos2???xysin2?，

22?x??y?x??y ?y???cos2???xysin2?，

22?x??y ?x?y???sin2???xycos2?，

2 ?x?z???xzcos???yzsin?，

?x??y?x??yy?y?z????xzsin???yzcos?

，?z???z

c120?b60?3.8在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方

向之间的夹角分别为0?、60?、120?，如图

?b3.9所示，这三个方向的正应变分别为?a、

和?c。求平面上任意方向的相对伸长度?n。 解：在Oxy平面中，和x方向成?角的方向，

其方向余弦为 8

aO图3.9x n1?cos?，n2?sin?，n3?0 这一方向的相对伸长度为 ?n??ijninj

??xcos2??2?xysin?cos???ysin2? ??x??y?x??y2?2cos2???xysin2?

?A?Bcos2??Csin2? (a) 利用上式，可得 ?a?A?B，?b?A?1B?23C，?b?A?1B?23C 22 解之，得 A??a??b??c3 将求出的A、B和C代回式(a)，得

?n?，B?2?a??b??cC?3(???)，bc

33cos2??3(?b??c)sin2?

3?a??b??c2?a??b??c3?3

3.9试说明下列应变分量是否可能发生： ?x?axy2，?y ?yz?ax2y，?z?axy，

?ay2?bz2，?xz?ax2?by2，?xy?0

其中a和b为常数。

解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协

调方程(3.34c)，可以发现，必须有a?b?0。所以当a和b不为零时，上述应变分量是不可能发生的。

3.10确定常数A0，A1，B0，B1，C0，C1，C2之间的关系，使下列应变分量满足协

调方程

2244 ?x?A0?A1(x?y)?x?y，

?y?B0?B1(x2?y2)?x4?y4， ?xy?C0?C1xy(x2?y2?C2)， ?z??zx??zy?0。

解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：

A1?B1?2C2。

其它三个常数A0、B0、C0可以是任意的。

C1?4，

3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。

9

解：由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 u?u0?ω0?(r?r0)??ε?dr?u?ω?(r?r)?ε?(r?r)

r00000r 其中u0是任意的刚体平移，ω0是任意的角位移矢量。

3.12设?x?ax，?y?by，?z?cz，?xy??yz??zx?0，其中a，b，c是常量，求位移的一般表达式。

解：所给的应变张量是，

ε?axe1?e1?bye2?e2?cze3?e3 很容易验证ε???0，且有 ??dr?axe1dx?bye2dy?cze3dz? 所以从式(3.36a),得 u?u0?ω0?(r?r0)? ?u0?ω0?(r?r0)?r1d(ax2e1?by2e2?cz2e3) 2?ε?dr

r001rd(ax2e1?by2e2?cz2e3) ?2r12 ?u0?ω0?(r?r0)?[a(x2?x0)e1?b(y2?y02)e2?c(z2?z02)e3] 2

第四章

4.1已知物体内一点的六个应力分量为：

?x?50a，?y?0，?z??30a，?yz??75a，?zx?80a，?xy?50a 试求法线方向余弦为n1?1，n2?1，n3?22剪应力?n。

解：应力矢量T的三个分量为 T1??1ini12的微分面上的总应力T、正应力?n和

?106.57a，T2??28.033a，T3??18.71a

总应力T? 剪应力?n?T12?T22?T32?111.8a。

?26.04a。

2T2??n?108.7a。

正应力?n?Tini

4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m，在这两个面上的应力矢量分别为T1和T2，试证T1?m?T2?n。 证：利用应力张量的对称性，可得 10

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