广石化12级数学建模期末作业-基金使用计划

题目 基金使用计划

摘要

学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。

第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放，所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组，设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额：Z=21.96339万元。通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到最大奖金数额，解出奖金最多的问题。

第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。在这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年初发放、在年中发放、在其他时期发放。在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程组。求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为29.37156万元、26.37202万元、25.50443万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。

第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的条件，在第六年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。第一种在只能选择存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第六年的奖金改为原来的1.2倍。解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是21.53805万元。第二种在既可以选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年中、年初、一年中其他时间。采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出每种小情况下的奖金数额25.01778万元、28.80516万元、21.53805万元。可以求解出在每种情况下的奖金额。

关键词 线性方程组 lingo软件 最大奖金额

1

一、问题重述

现在每个学校发奖学金是个很普遍的现象。每年学校都会拿出一部分奖金来发给优秀师生本文就是要找出使奖金最大化的理财方式。

某学校有一笔数额为M元的基金，可以采取将其存入银行或者购买国库券的方式。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。银行可以随时存款，校基金会计划在10年内每年拿出一部分本息和来奖励优秀师生，要求每年的奖金数额基本相同。在n年后仍保留原基金数额。学校基金会希望通过比较存款和购买国库券找出最优的处理方式。为了这个选出最佳的处理方式，题目中要求计算三种处理方式。问题一要计算出的是在只存款不购买国库券的情况下寻找出最优的存款方式。条件中有各种存钱年份的利息。根据表中的数据找出最优的存钱方式，问题二中要求出在既可以选择存款又可以购买国库券的情况下的最好的存款方式，国库券的年利率如下表所示，国库券只有两年、三年、五年三种不同的期限同样要在这两种方式中间合理分配存款来达到活力的最大化。问题三中要解出学校在六年后要进行校庆 ，基金决定这一年发放的奖金数目要比其他年份多20%，解决这个问题要通过对前两个问题分析求出。

各种存钱方式和购买国库券的年利率如下表。

表1：银行存款和国库券年利率 活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期

银行存款税后年利率（%） 0.792 1.664 1.800 1.944 2.160 2.304 国库券年利率（%） 2.55 2.89 3.14 二、模型假设

1、假设每年发放的奖金数额都是相同的。 2、假设10内存款利率和国库券利率不变。

3、假设基金在年末到位，奖学金在基金到位后发放。 4、假设购买国库券不支付个人所得税。 5、假设不会出现国库券供不应求的情况。

6、假设国库券到期所得的本金和利息不购买当年的国库券。 6、假设资金不会发生闲置的情况。

7、假设定期存款如果在没有到期之前取出，就按照活期存款利率计算。

三、符号说明

xij

2

第i年存入j年期的存款

yij 第i年购买j年期的国库券 ri pi i年期的税后年利率 i年期的国库券年利率 奖金数额 z 四、问题分析

问题一中题目要求在只能存款不购买国库券时所获得奖金的最大额，从题目中的各种存款年利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，从假设中可知奖金在每年年末发放，半年期存款的利率小于一年期利率。所以活期和半年期存款不能选择，这样可供选择的只有一年期、二年期、三年期和五年期。又因为在任何时候紫金都不能闲置。所以解决这道题目时可以建立线性方程组，求出最优解，通过建立线性方程组可以解出在每年年末取出资金后的处理方式。解线性方程组即可求得最大奖金额。

问题二中在既可以存款又可以购买国库券时。从题目中可知国库券的年利率高于存款年利率，所以在既可以购国库券又可以存款时优先购买国库券，国库券每年至少发行一次，发行时间不定，在这种情况下就要分情况讨论。在一年中不同时期发放国库券，要随时准备购买国库券。为了不让资金闲置，在没发行国库券时要存款。可以分三种国库券在年初发行、国库券在每年的年中时期发行、国库券在每年其他时间发行。对于三种情况分别建立线性方程组解出最大奖金数额。

对于问题三的分析可以从对以上两问的分析中找到方法。题目中要求在第六年时因为举行校庆要增加20%的奖金数额。题目中没有限制是只能存款还是即可以存款又可以购买国库券。所以解决这个题目时要分两种情况。第一种只能存款，这时可以建立与问题一中相似的模型，建立线性方程组，此时把第六年的奖金增加20%，解得线性方程组，可得最大奖金数额。第二种情况又可以分为三种小情况，分别如问题二中国库券在年中、年初、其他时间发行，分别建立线性方程组解得每种小情况的奖金数额。这样就能解出在各种情况下的奖金数额。然后在计算出在第六年应当发放的奖金数额。

五、模型的建立与求解

5.1、问题一模型的建立与求解

问题一种通过分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依题意可知奖金是定期发放且在每年的年末发放，可知为了使利率的最大化应当舍去半年期和活期的存款方式 。

经过分析可知第一年年末提取的现金只有一个来源，那就是在第一年年初存入银行的一年期存款。第二年的校方所能提取的现金的来源有两个方面分别是第一年存入的两年期存款和第一年年初存入的一年期存款发放第一年奖金后剩余的钱转存的一年期存款。当然第三年的所能提取的现金就有三个来源。以此类推

3

出每年提取的现金的来源方式。

第一年存入银行的资金M,有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。

x11?x12?x13?x15?M;

第一年年末的资金的来源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的时候会把第一年年初存入的一年期存款的本息和减去当年年末奖金的数额再转存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具体方式如下：

x21?x22?x23?x25?x11(1?r1)?z;

第二年的资金来源有二个方向，分别为第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把发去奖金后剩余的钱在第三年的年初分别按一年期、二年期、三年期、五年期存入银行，表示如下：

x31?x32?x33?x35?x12(1?2r2)?x21(1?r1)?z;

第三年年末的资金来源有三个部分，分别是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。第四年年初的存款方式如下所示： x41?x42?x43?x45?x13(1?3r3)?x22(1?2r2)?x31(1?r1)?z; 第四年年末的资金来源有四个来源，同样第四年年末的时候还是会把除去发过奖金后剩余的钱在第五年年初转存一年期、二年期、三年期、五年期存款。

x51?x52?x53?x55?x23(1?3r3)?x32(1?2r2)?x41(1?r1)?z;

第五年的分析方法和以上分析方法一样，第五年年末也是把发过奖金后剩余的钱在第六年年初转存四种存款方式，如下所示:

x61?x62?x63?x65?x15(1?5r5)?x33(1?3r3)?x42(1?2r2)?x51(1?r1)?z; 其后几年的处理方式和前几年的处理方式相同。计算方式表示如下： x71?x72?x73?x25(1?5r5)?x43(1?3r3)?x52(1?2r2)?x61(1?r1)?z;x81?x82?x83?x35(1?5r5)?x53(1?3r3)?x62(1?2r2)?x71(1?r1)?z;x91?x92?x45(1?5r5)?x63(1?3r3)?x72(1?2r2)?x81(1?r1)?z;x101?x55(1?5r5)?x73(1?3r3)?x82(1?2r2)?x91(1?r1)?z;

从以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初时可以存入一年期和两年期存款，第十年年初时可以存入一年期存款。在第六年年末时可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款、第五年年初存入的两年期存款、第六年年初存入的一年期存款。在第七年年末时可以取出的资金是第三年年初存入的五年期存款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。在第八年年末时可以取出的资金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年年初存入的二年期、第八年年初存入的一年期。第九年年末时可以取出的资金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期,第九年年初存入的一年期。

在最后一年时也就是第十年的年末把所有的资金全部取出。除去发奖金的以外，剩余的资金要正好等于开始存钱的资金。表示如下：

M?x65(1?5r5)?x83(1?3r3)?x92(1?2r2)?x101(1?r1)?z.

联立以上线性方程解出最终的答案：奖学金最大数额

Z=21.96339(万元)

另外还可以根据解得线性方程组中xij的值，即是每年应该以哪种方式存钱才能使奖金数额最大化。如下表所示：

4

表2:每年年初可以选择的存款方式 第 一 年 79.35243 第 二 年 0 第 三 年 0 第 四 年 0 第 五 年 0 第 六 年 0 第 七年 0 第 八年 0 第 九年 0 第 十年 0 一年存款 二年存款 三年存款 五年存款 40.09892 0 0 0 0 0 0 0 0 0 39.12281 39.12281 0 0 0 0 0 0 0 0 841.4258 19.69457 19.69457 19.69457 19.69457 916.3947 0 0 0 0 5.2、问题二模型的建立与求解 在问题二中可以选择存款和购买国库券由题目中的表格可以看出同期的国库券利率相对于同期的存款利率大的多，所以在两者都可行的前提下，肯定优先考虑国库券。但是由题意知：国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

根据上述信息将国库券发行时间分为3种情况： 第一种情况国库券在准备存钱的时候发行，即是在每年年初开始存钱的时候国库券发行了，由题目中的数据可以知道国库券只发行二、三、五年，所以在这种情况下，我们可以把二、三、五年期的国库券年利率看成相应的存款利率。在此种情况下，问题就转化为和问题一一样的解题模型了，用问题一的方法即可求出最大的奖金额。 X11+y12+Y13+Y15=M;

X21+Y22+Y23+Y25=X11(1+r1)-z;

X31+Y32+Y33+Y35=Y12(1+2p2)+X21(1+r1)-z;

X41+Y42+Y43+Y45=Y13(1+3p3)+Y22(1+2p2)+X31(1+r1)-z; X51+Y52+Y53+Y55=Y23(1+3p3)+Y32(1+2p2)+X41(1+r1)-z;

X61+Y62+Y63+Y65=Y15(1+5p5)+Y33(1+3p3)+Y42(1+2p2)+X51(1+r1)-z; X71+Y72+Y73=Y25(1+5p5)+Y43(1+3p3)+Y52(1+2p2)+X61(1+r1)-z; X81+Y82+Y83=Y35(1+5p5)+Y53(1+3p3)+Y62(1+2p2)+X71(1+r1)-z; X91+Y92=Y45(1+5p5)+Y63(1+3p3)+Y72(1+2p2)+X81(1+r1)-z; X101=Y55(1+5p5)+Y73(1+3p3)+Y82(1+2p2)+X91(1+r1)-z; 1000=Y65(1+5p5)+Y83(1+3p3)+Y92(1+2p2)+X101(1+r1)-z;

根据以上线性方程组求解出在每年年初发行国库券时将存款转存相同年份的国库券时所获得奖金的最大数额：

Z=29.37156(万元)

在将二、三、五年的存款转入相同年份的国库券时资金处理方式如下表：

表3：在年初发行国库券时每年年初资金的处理方式 一年

第 一 年 55.40252 第 二 年 0 第 三 年 0 5

第 四 年 0 第五年 0 第 六 年 0 第 七 年 0 第第第八九十年 年 年 0 0 0

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