1.2.1-1.2.2极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化 Word版

§2 极坐标系

2.1 极坐标系的概念

2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

课后篇巩固探究

A组

的点的直角坐标为( )

A.(π,π) B.(π,-π) C.(-π,π) D.(-π,-π)

解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=π·cos=π,y=π·sin=-π,故直角坐标为(π,-π). 答案:B 2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是( ) A.(3,4) B.(4,3) C.(3,5) D.(5,6) 答案:A 3.已知极坐标平面内的点P,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( ) 1.极坐标为

A.,(1,) B.,(1,-) C.,(-1,) D.,(-1,-) 解析:易知点P关于极点的对称点的极坐标为,由x=ρcos θ=2×cos=-1,y=ρsin θ=2×sin=-,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-). 答案:D 4.已知点M的直角坐标是(2,-2),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是( ) A. B. C. D. 解析:ρ==4,tan θ==-.

又点M在第四象限,故点M的极坐标为. 答案:C 5.若点M的极坐标为,则点M关于y轴对称点的直角坐标为 . 解析:∵点M的极坐标为,

∴x=6cos=6cos=6×=3, y=6sin=6sin=-3,

∴点M的直角坐标为(3,-3),

∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3). 答案:(-3,-3)

6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为 .

解析:∵点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.

∴ρ=

=2.

又tan θ==1,且θ∈[0,2π), ∴θ=π.

∴点P的极坐标为. 答案:

7.将下列极坐标化成直角坐标.

(1);(2);(3)(5,π). 解(1)因为x=·cos=1,y=·sin=1,

所以点的直角坐标为(1,1). (2)因为x=6·cos=3,y=6·sin=-3. 所以点的直角坐标为(3,-3). (3)因为x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0, 所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0). 8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4); (3);(4)(-,-). 解(1)ρ=,tan θ=-1,θ∈[0,2π),

因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=, 所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为. (2)ρ==8,tan θ==-,θ∈[0,2π), 因为点(4,-4)在第四象限,所以θ=. 所以直角坐标(4,-4)化为极坐标为. (3)ρ=,tan θ==1,θ∈[0,2π), 因为点在第一象限,所以θ=. 所以直角坐标化为极坐标为. (4)ρ==2,tan θ=,θ∈[0,2π), 因为点(-,-)在第三象限,所以θ=. 所以直角坐标(-,-)化为极坐标为. 9.在极坐标系中,如果A,B为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积. 解法一 利用坐标转化.

对于点A,直角坐标为(),点B的直角坐标为(-,-). 设点C的直角坐标为(x,y).

由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|, 故=0, 即(x-,y-)·(x+,y+)=0,

(x-)(x+)+(y-)(y+)=0. 得x2+y2=4. 又∵|AC|2=|BC|2,

于是(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,

即y=-x,代入①得x2=2, 解得x=±, ∴ ∴点C的直角坐标为

.

①∴ρ==2,tan θ=-1,θ=∴点C的极坐标为

, .

S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.

法二 设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π), ∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|, ∴|AC|=|BC|=2, 即 ①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2, 代入①得cos=0, ∴θ-+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,

又0≤θ<2π,∴k可取0或1, ∴θ=或θ=. ∴点C的极坐标为, S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.

B组

1.在极坐标系中,确定点M的位置,下面方法正确的是( ) A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2

B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2 C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2 D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=2 答案:B 2.在极坐标系中,已知点A,B,则OA与OB的夹角为( ) A. B.0 C. D. 解析:如图所示,夹角为.

答案:C 3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-建立极坐标系,则点P的极坐标可以是( )

).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴

A. B. C. D. 解析:极径ρ==2,极角θ满足tan θ==-,∵点(1,-)在第四象限,∴θ=-+2kπ(k∈Z). 答案:A 4.在极坐标系中,已知点P和点Q,则PQ的中点M的极坐标可以是( ) A. B. C. D. 解析:∵P,∴∴P(1,).

∵Q,∴ ∴Q(-3,).

∴PQ的中点M的直角坐标为(-1,). ∴ρ2=(-1)2+()2=4,

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