【2013昌平二模】北京市昌平区2013届高三第二次质量抽测 文科数(2)

解：（Ⅰ）?f(x)?3sin(??2x)?2cosx?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x??????????????????????????????????..4分 ?f()?2sin(??2?6)

??62)?2?1?1??????????????.6分 2（Ⅱ）f(x)?2sin(2x? 又由2k???6)的最小正周期T??，??????????8分

?2?2x??6?2k???2?k???6?x?k???3(k?Z)可得

函数f(x)的单调递增区间为?k??

（17）（本小题满分14分） (Ⅰ)证明：连结AC?BD?F，

?????,k???(k?Z).???13分 63?ABCD为正方形，F为AC中点，

E为PC中点.

∴在?CPA中,EF//PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分

且PA?平面PAD，EF?平面PAD ∴EF//平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)解：如图,取AD的中点O, 连结OP. ∵PA?PD, ∴PO?AD. ∵侧面PAD?底面ABCD,

PDAOGFECB平面PAD?平面ABCD?AD,

∴PO?平面ABCD.

又PA?PD?且AD?22,PO?2AD?2,所以?PAD是等腰直角三角形， 21AD?2, 211在正方形 ABCD中，S?BCD?S正方形ABCD??22?22?4

22 VP?BCD?1142S?BCD?PO??4?2?.?????????????????..9分 333(III) 存在点G满足条件，理由如下：设点G为AB中点，连接EG,FG. 由F为BD的中点，所以FG//AD，

由（I）得EF//PA，且FG?EF?F,AD?PA?A, 所以平面EFG//平面PAD.

∵侧面PAD?底面ABCD,平面PAD?平面ABCD?AD, CD?AD，

?CD?平面PAD

所以，CD?平面EFG.

所以，AB的中点G为满足条件的点.??????????????14分

（18）（本小题满分13分）

ax2?a. 解：（I）f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?x??xx由f(x)在x?2处的切线与直线3x?2y?1?0平行，则f'(2)?4?a3?,a?1.?.4分 2212x2?1.令f'(x)?0，得x?1. 此时f(x)?x?lnx,f'(x)?2xf(x)与f?(x)的情况如下：

x f?(x) f(x) （0,1） — ↘ 1 0 (1,??) + ↗ 1 2所以，f(x)的单调递减区间是（0,1），单调递增区间是(1,??)………………………7分

ax2?a. (II)由f'(x)?x??xx由a?0及定义域为(0,??)，令f'(x)?0,得x?a.

①若

a?1即,0?a?1； 2x?)在1,(1,e)上，f'(0，f(x)在[1,e]上单调递增，

f(x)min?f(1)?② 若1?a?e,即1?a?e2,在（1,a)上，f'(x)?0，f(x)单调递减；在（a,e)上，

f'(x)?0，f(x)单调递增，因此在[1,e]上，f(x)min?f(a)?1a(1?lna)； 2

③ 若

x?)a?e,即a?e2,在(1,e)上，f'(，0f(x)在[1,e]上单调递减，

1f(x)min?f(e)?e2?a.

2综上，当0?a?1时，f(x)min?11;当1?a?e2时，f(x)min?a(1?lna);当a?e2时，221f(x)min?e2?a.…………………………………………………………………..13分

2

（19）（本小题满分13分）

?c62???a?3a3??2?,解得，解：（1）根据题意，?b?1?b?1.

?a2?b2?c2?c2?2????x2y2??1. ·所以椭圆方程为························································································ 5分 31（II）将y?kx?2代入椭圆方程，得(1?3k2)x2?12kx?9?0，由直线与椭圆有两个交点，

22所以??(12k)?36(1?3k)?0，解得k?1.

2设C(x1,y1)、D(x2,y2)，则x1?x2??12k9x?x?，，若以CD为直径的圆过121?3k21?3k2E点，则EC?ED?0，即(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，

而y1y2?(kx1?2)(kx2?2)=k2x1x2?2k(x1?x2)?4，所以

9(k2?1)12k(2k?1)??5?0(x1?1)(x2?1)?y1y2?（k?1)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?5?221?3k1?3k2，解得k?

72,满足k?1. 67,使得以线段CD为直径的圆过E点． ························································· 13分 6所以存在k?

（20）（本小题满分14分）

n?(a)?si?nx()得sin(x?a)??sinx，根据诱导公式得解：（I）由six

a?2k???(k?Z)．?y?sinx具有“P(a)性质”，其中a?2k???(k?Z)．

??????4分

（II）?y?g(x)具有“P(?1)性质”，?g(1?x)?g(?x)，g(?1?x)?g(?x)，

?g(x?2)?g(1?1?x)?g(?1?x)?g(x)，从而得到y?g(x)是以2为周期的函数．又

设

1311?x?，则??1?x?， 2222g(x)?g(x?2)?g(?1?x?1)?g(?x?1)??x?1?x?1?g(x?1)．

11?x?n?(n?Z)， 221111当n?2k（k?z），2k??x?2k?，则??x?2k?，

2222再设n?g(x)?g(x?2k)?x?2k?x?n；

当

n?2k?1(k?Z)，

2k?1?11?x?2k?1?22则

13?x?2k?22，

g(x)?g(x?2k)?x?2k?1?x?n； ?对于n?1111?x?n?（n?z），都有g(x)?x?n，而n?1??x?1?n?1?，2222?g(x?1)?(x?1)?(n?1)?x?n?g(x)，?y?g(x)是周期为1的函数．

①当m?0时，要使得y?mx与y?g(x)有2013个交点，只要y?mx与y?g(x)在

[0,1006)有2012个交点，而在[1006,1007]有一个交点．?y?mx过(而得m?2013,21)，从21 20131 2013②当m?0时，同理可得m??③当m?0时，不合题意． 综上所述m??

1??????????14分 2013

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