湖北省武汉市普通高等学校2012届高三全国统一招生考试答题适应性(2)

数学（文史类）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．B 二、填空题

11．i?2 12．{5,6} 13．（Ⅰ）83（Ⅱ）83.5 14．4 15．（Ⅰ）2 （Ⅱ）?2 16．（Ⅰ）210（Ⅱ）25 17．②④ 三、解答题

18．解：（Ⅰ）因为a4，a5，a8成等比数列，所以a52?a4a8．

设数列{an}的公差为d，则(a2?3d)2?(a2?2d)(a2?6d). 3分 将a2?3代入上式化简整理得d2?2d?0. 又因为d?0，所以d??2. 于是an?a2?(n?2)d??2n?7，即数列{an}的通项公式为an??2n?7. 3分

n(a1?an)n(5?7?2n)??6n?n2，于是S7??7， 22所以函数f(x)的最小值为?7，由A?0，于是A?7． 2分

π又因为函数f(x)在x?处取得最小值，则

3ππsin(3???)??1，因为0???π，所以??．

32π故函数f(x)的解析式为f(x)?7sin(3x?)?7cos3x． 2分

22kππ2kπ于是由2kπ?π?3x?2kπ，k?Z，得，k?Z， ??x?3332kππ2kπ所以函数f(x)的单调递增区间为[?,](k?Z). 2分

33319．解：（Ⅰ）

[0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 区间

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn?人数 1 2 5 2

4分

（Ⅱ）（ⅰ）投中个数在区间[10,15)内的学生编号为A2,A3,A5,A9,A10，从中随机抽

取2名学生，所有可能的抽取结果为{A2,A3}，{A2,A5}，{A2,A9}，{A2,A10}，{A3,A5}，{A3,A9}，{A3,A10}，{A5,A9}，{A5,A10}，{A9,A10}，

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共10种. 5分

（ⅱ）“从投中个数在区间[10,15)内的学生中随机抽取2人，这两人投中个数之

和大于23”（记为事件B）的所有可能的结果有：{A2,A3}，{A2,A9}，{A2,A10}，共3种.

所以P(B)?3. 3分 1020．解：

（Ⅰ）由三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱可知，AA1即为其高.

如图，因为BC∥B1C1，所以?A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或其补角. ?1?AA12. 连接AC，因为AB?AC，所以A1B?AC11在Rt△ABC中，由AB?AC?1，?BAC?90?，可得BC?2. 3分

又异面直线A1B与B1C1所成的角为60?，所以?A1BC?60?，即△A1BC为正三角形. 于是A1B?B1C1?2. 在Rt△A1AB中，由1?AA12?A1B?2，得AA1?1，即棱柱的高为1. 3分 （Ⅱ）连结B1A，设B1A?BA1?E，由（Ⅰ）知，B1A1?AA1?1，

所以矩形BAA1B1是正方形，所以B1E?A1B. 2分 又由AC11?面A1B1BA得 AC11?B1E，于是得B1E?平面A1BC1.

故?B1C1E就是B1C1与平面A1BC1所成的角. 2分

?在Rt△A1B1C1中，由A1B1?AC1AC11?90， 11?1，?BA1

B1

C1

可得B1C1?2. 在Rt△B1EC1中，由B1E?12，B1C1?2， A1B?22E B

BE1得sin?B1C1E?1?，故?B1C1E?30?.

B1C12A

C

因此B1C1与平面A1BC1所成的角30?. 3分

2e21．（Ⅰ）解：由f(x)?x2?2elnx，得f?(x)?2x?(x?0).

x令f?(x)?0，得x2?e，所以x?e. 2分

当0?x?e时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,e)内是减函数； 当x?e时，f?(x)?0，所以f(x)在(e,??)内是增函数. 2分 故函数f(x)在x?e处取得最小值f(e)?0. 2分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(e)?0，

即x2?2elnx，当且仅当x?e时，等号成立.

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即两曲线y?x2，y?2elnx有唯一公共点(e,e). 3分 若存在a,b，则直线y?ax?b是曲线y?x2和y?2elnx的公切线，切点为(e,e).

2分

由(x2)??2x，得直线y?ax?b的斜率为a?2e. 又直线y?ax?b过点(e,e)，所以e?2e?e?b，得b??e.

故存在a?2e，b??e，使得x2?ax?b?2elnx对于任意正数x恒成立. 3分

?a?2b，x2y2?22．解：（Ⅰ）设椭圆方程为2?2?1 (a?b?0)，则?4 2分 1ab??1，??a2b22?x2y2?a?8,解得?2 故椭圆的方程为??1. 2分

82b?2.??（Ⅱ）（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k?kOM?又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为y?1， 21x?m. 21?y?x?m,??2由?2 得x2?2mx?2m2?4?0. 2?x?y?1,?2?8又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

??(2m)2?4(2m2?4)?0，于是?2?m?2. 3分 ?????????AOB为钝角等价于OA?OB?0且m?0，

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

????????11OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?m)(x2?m)

22?5mx1x2?(x1?x2)?m2?0， 42由韦达定理x1?x2??2m，x1x2?2m2?4代入上式，

化简整理得m2?2，即?2?m?2，故所求范围是(?2,0)?(0,2).

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2分

（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k1，k2.

由k1?y1?1y?1，k2?2. 2分 x1?2x2?2y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)而k1?k2?

11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)xx?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)2?2?12

(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)2m2?4?2m2?4m?4m?4???0.

(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)

所以k1?k2?0 , 故直线MA、MB的倾斜角互补，

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 3分

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