高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.3 两角和与差的正切公式的应

两角和与差的正切公式的应用

两角和正切公式为tan(?＋?)＝

?tan??tan?(?，?，? + ?≠k?＋)，它

21?tan?tan?是解决正切函数问题的基本公式，应用非常广泛，下面举例说明． 一、正用

指正向运用公式，用于求正切的两角和或可转化为求两角和问题． 例1．不查表求tan75?,tan15?的值.

3tan45??tan30?3=3?3=2+3. 解：tan75?= tan(45?+30?)==1?tan45?tan30?33?31?31?3tan45??tan30?3=3?3=2-3. tan15?= tan(45?-30?)==1?tan45?tan30?33?31?31? 例2．若tan(?+?)=

2?1?，tan(?-)=,求tan(?+)的值。 5444 分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现(?+

??)+(?-)=?+?，所以可将44?+化为（?+?）-(?-),从而求得tan(?+)的值.

?)=tan[（?+?）421??tan(???)?tan(??)?54=3. 4-(?-)]==

?212241?tan(???)tan(??)1??454? 例3．已知A、B都为锐角，证明：A+B=的充要条件是(1+tanA)(1+tanB)=2。

4 解：tan(?+ 证明：先证充分性

由(1+tanA)(1+tanB)=2，即1+ tanB + tanA + tanAtanB =2，得tanB + tanA =1- tanAtanB， ∴tan(A+B)=

?4?4?4tanA?tanB?=1.又由A、B都为锐角，得0

1?tanAtanB4 再证必要性

1

由A+B=

?tanA?tanB，得tan(A+B)=1，即=1，∴tanB + tanA =1- tanAtanB，即1+ tanB

1?tanAtanB4+ tanA + tanAtanB =2，整理，得(1+tanA)(1+tanB)=2。 点评：读者可用类似的方法证明以下命题：

3?，则(1-tan?)(1-tan?)=2; 45? (2)若?+?=，则(1+tan?)(1+tan?)=2;

47? (3)若?+?=，则(1-tan?)(1-tan?)=2.

4 （1）若?+?=

说明：利用本例结论很容易求出(1+tan1?)(1+tan2?)(1+tan3?)??? (1+tan44?)(1+ tan45?)的值，请同学们一试(答案：2 二、逆用

逆用公式是指从右往左用公式，即单角往复角转化．往往伴随着常数三角化的运用，如1= tg45°等，特别是解决“ 例4．求下列各式的值 (1)

23).

1?tan?”型问题．

1?tan?tan11?2??tan48?58?3?tan15?;(2) .

1?tan11?2?tan48?58?1?3tan15? 解：(1)原式=tan(11?2?+48?58?)=tan60?=3。 (2) 原式=

tan60??tan15?=tan(60?-15?)=tan45?=1.

1?tan60?tan15? 例5．化简下列各式：

tan252.5??tan27.5?tan(???)?tan? （1）； (2) . 221?tan52.5?tan7.5?1?tan(???)tan? 解：(1)原式= tan[(?-?)+?]=tan?. (2) 原式=

tan52.5??tan7.5?tan52.5??tan7.5?×=tan(52.5?-7.5?)

1?tan52.5?tan7.5?1?tan52.5?tan7.5?an(52.5?+7.5?)=tan45?tan60?=3. 三、变形应用 公式tan(???)=

tan??tan?的变形公式有以下两种：

1?tan?tan? 2

（1）tan??tan?= tan(???)(1? tan?tan?) （2）1? tan?tan?= 例6．求下列各式的值

(1)tan11?(1+ tan34?)+tan34?; (2)tan70?+tan50?- 3tan70?tan50?.

(3)tan29?tan43?+ tan29?tan18?+tan18?tan43?.

解：（1）原式= tan11?+ tan11?tan34?+ tan34?=( tan11?+ tan34?)+ tan11?tan34?= tan(11?+34?)(1- tan11?tan34?)+ tan11?tan34=tan45?(1- tan11?tan34?)+ tan11?tan34 =1- tan11?tan34?+ tan11?tan34=1.

(2) 原式= tan(70?+50?)(1-tan70?tan50?)-tan120?(1-tan70??

tan50?)-3tan70?tan50?=-3(1-tan70?tan50?)-3tan70?tan50?=-3+3tan70??tan50?-3tan70?tan50?=-3. (3) 原式= tan29?tan43?+ tan18?(tan29?+tan43?)=tan29?tan43?+ tan18?tan(29?+43?) (1- tan29?tan43?)=tan29?tan43?+ tan18?tan72?(1- tan29?tan43?)= tan29?tan43?+ tan18?

cot18?(1- tan29?tan43?)= tan29?tan43?+1- tan29?tan43?=1. 例7．已知A+B+C=k?(k∈Z)，求证：tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.

证明：由A+B+C=k?，得A+B= k?-C (k∈Z)，∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1- tanAtanB) +tanC= tan(k?-C)(1- tanAtanB) +tanC= -tanC(1- tanAtanB) +tanC= tanAtanBtanC. 说明：1.当n=2k(k∈Z)时，tan(n?-?)= tan(2k?-?)=-tan?;当n=2k+1(k∈Z)时, tan(n?-?)= tan(2k?+?-?+)= tan(?+?)=-tan?;综上可知，当n∈Z时，有tan(n?-?)

=-tan?，同理可得当n∈Z时，有tan(n?+?)=tan?。

2.当一个三角函数式中既含有tan??tan?，又含有tan?tan?时，就可用公式tan(???)=

tan??tan?.

tan(???)3tan70?tan50?=

tan??tan?的变形公式进行化简。

1?tan?tan?3

四、活用

在数学解题中，常会碰到形如“

x?y”的结构，这时可活用两角和的代换，就能使比1?xy较隐蔽关系显现出来，从而实现难题巧解．

5＝tan8?，求b的值．

??15aacos?bsin55???basin?bcostan?55＝5a， 分析 由联想到两角和的正切公式，便有以下解法． ??b?acos?bsin1??tan55a5?btan?5a＝tan8?，令b＝tan?，则 解：由题设，得

b?15a1??tana5 例8 已知非零实数a，b满足

asin?5?bcos?tan?5?tan?1?tan??tan?5＝tan

8?， 158???tan155＝tan?8????＝3． 即tan?＝??8??155??1?tan?tan155b 故＝3．

atan练习

1，tan?＝－2，0°＜?＜90°，90°＜?＜180°，求?＋?的值． 3tan53??tan7? 2、⑴计算的值．

1?tan53?tan7?1?tan75? ⑵ 计算的值．

1?tan75? 1、已知tan?＝

3、tan20?tan40?3tan20tan40的值是 ．

4、化简 (1?tan1)(1?tan2)(1?tan3)?(1?tan43)(1?tan44?) 参考答案

1、分析 解此类题的一般步骤是：⑴求出?＋?的某一三角函数值；⑵确定?＋?所在范围．由于已知条件给出是正切，故可优先考虑用正切的和角公式．

0000???? 4

1，tan?＝－2，得 31?2tan??tan?3 tan(?＋?)＝＝＝－1，

11?tan?tan?1?×?2??3 解：由tan?＝

又0°＜?＜90°，90°＜?＜180°， ∴ 90°＜?＋?＜270°．

而在90°与270°之间只有135°的正切值等于－1， ∴ ?＋?＝135°． 2、解：⑴逆用公式，得

tan?5?3t?an7＝tan(53°＋7°)＝tan60°＝3．

1?tan?53t?an71?tan75?tan45??tan75?＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－3．

1?tan75?1?tan45?tan75? ⑵∵1＝tan45°， ∴

3、解 tan20??tan40??3tan20?tan40?

＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋3 tan20°tan40°＝3．

4、分析：因为1??44??45?，2??43??45?，?，22??23??45?，所以由变形公式（5）可得(1?tan1?)(1?tan44?)=(1?tan2?)(1?tan43?)=?=

(1?tan22?)(1?tan23?)=2，即可化简本题.

解：由变形公式（5），得

原式=[(1?tan1)(1?tan44)]?[(1?tan2)(1?tan23)]???

0000?2???2?222. [(1?tan220)(1?tan230)]=2?????22个2 5

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