2018年人教A版高中数学选修4-5优化练习第四讲 一 数学归纳法含解(2)

人教A版2018学年高中数学选修练习含答案

?

解方程组?a?4b＋c?＝3，

?3a?9b＋c?＝19，

证明如下：

a?b＋c?＝1，

1?a＝3，?解得?b＝2，

??c＝1.

①当n＝1时，由以上知等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

1

即12＋22＋32＋?＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12＝3k(2k2＋1)； 当n＝k＋1时，

12＋22＋32＋?＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12 1

＝3k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 1

＝3k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 1

＝3k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 1

＝3(k＋1)(2k2＋4k＋3) 1

＝3(k＋1)[2(k＋1)2＋1]． 即当n＝k＋1时，等式成立．

1

因此存在a＝3，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立．

6

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