全等三角形经典题型50题(含答案)(2)

25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

ABADEFC26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。 证明：??∵BE‖CF??∴∠E=∠CFM，

BF∠EBM=∠FCM??∵BE=CF?? ∴△BEM≌△CFM??

∴BM=CM??∴AM是△ABC的中线.

EMC 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDBA相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=AC??BD=DC??AD=AD?? ∴△ABD≌△ACD??∴∠ADB=∠ADC??∴∠BDF=∠FDC??

在△BDF与△FDC中

??BD=DC??∠BDF=∠FDC??DF=DF??∴△FBD≌△FCD??∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

AFBDCADBC因为AB=DC????AE=DF,????CE=FB ????CE+EF=EF+FB????所以三角形ABE=三角形CDF????因为 角DCB=角ABF????AB=DC BF=CE????三角形ABF=三角形CDE????所以AF=DE????

CEDFB6

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证：??∵AB平行CD（已知）??∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）??∵M在BC的中点（已知）??∴EM=FM（中点定义）??在△BME和△CMF中?? BE=CF（已知）?? ∠B=∠C（已证）?? EM=FM（已证）??∴△BME全等与△CMF（SAS）??∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）??

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）?? ∴E，M，F在同一直线上??

31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明：

??∵AF=CE??∴AF+EF=CE+EF??∴AE=CF??∵BE//DF??∴∠BEA=∠DFC??又∵BE=DF ??∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

D 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等

E 腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF A C得AE=AF

F

B

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.??又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.??所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC??三角形DEC全等于三角形BEC??所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

因为D,C在AF上且AD=CF??所以AC=DF??又因为AB平行DE，BC平行EF??所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）??然后SSA（角角边）三角形全等

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A12D5E6B34C35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

证明：因为 AB=AC，?? 所以 ∠EBC=∠DCB?? 因为 BD⊥AC，CE⊥AB?? 所以 ∠BEC=∠CDB??

C F A

D BC=CB (公共边)?? 则有 三角形EBC全等于三角形DCB?? B E

所以 BE＝CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． AAS证△ＡＤＥ≌△ADF

E F A B C D 37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

A 角C=角E=90度??

角B=角EAD=90度-角BAC?? BC=AE?? △ABC≌△DAE?? AD=AB=5????

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明∵AB=AC??

∴△ABC是等腰三角形??∴∠B=∠C?? 又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形 ??∴△BEM全等于△CEM??∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： Ｄ C 求证：

Ｅ

证明：

A B

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E B C D AEBMFCB已知1,2??求证4????因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB????所以△ADB全等于△BCA?? ??所以角D=角C

以4,5为条件，1为结论。??即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC??

因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360??∠D=∠C，∠A=∠B，??所以 2(∠A+∠D)=360°，?? ∠A+∠D=180°，??所以 AB//DC

40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，

求证： ①?ADC≌?CEB；BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

②DE?AD?BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）证明：∵∠ACB=90°，??∴∠ACD+∠BCE=90°，??而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，??∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，??∴∠ACD=∠CBE．??在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，??∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），??∴AD=CE，DC=BE，??∴DE=DC+CE=BE+AD；????

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，??∴△ADC≌△CEB（AAS），??∴AD=CE，DC=BE，??∴DE=CE-CD=AD-BE；???? 41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF F （1）证明;因为AE垂直AB??所以角EAB=角EAC+角CAB=90度??因为AF垂直AC??所以角CAF=角CAB+角

A E BAF=90度??所以角EAC=角BAF??因为AE=AB AF=AC??

所以三角形EAC和三角形FAB全等??所以EC=BF??角ECA=角F?? M （2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G??因为角ECA=角B C F(已证）??所以角G=角CAF??因为角CAF=90度??所以EC 垂直BF

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：??（1）??∵BE⊥AC，CF⊥AB??∴∠ABM+∠BAC=90°，AN4∠ACN+∠BAC=90°??∴∠ABM=∠ACN??∵BM=AC，3CN=AB??∴△ABM≌△NAC??∴AM=AN????

F（2）

E??∵△ABM≌△NAC??∴∠BAM=∠N??∵∠N+∠BAN=90°??∴∠B

M2AM+∠BAN=90°??即∠MAN=90°??∴AM⊥AN 1C

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43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC ??∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN?? 所以∠ANE=∠ACE??又AC平行BD??

所以∠ACE+∠BDE=180??而∠ANE+∠ENB=180

??所以∠ENB=∠BDE??∠NBE=∠EBN??BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD??

所以BD=BN??所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：??∵AD是中线??∴BD=CD??∵DF=DE，

∠BDE=∠CDF??∴△BDE≌△CDF??∴∠BED=∠CFD??∴BE‖CF

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD．

C 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，??∴∠DEC=∠AFB=90°，??在D

Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，F ??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴∠C=∠A，??∴AB∥CD．

E

A B

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

【待定】

AD.1324CB10

48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。??证明：C ??过D作AE平行线与AC交于F，连接FB??由已知

D 条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。??RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°??∵DF//AE

A B ∴∠FDB=∠AEB<90°??△DFB中 E

∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°??RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ??∠AFB=90°-∠FBA>45°??∴AB>AF??∵AB=CE AF=DE??∴CE>DE

49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB A D 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE

B E C

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C 证明：作CG平分∠ACB交AD于

D G??∵∠ACB=90°??∴∠ACG= ∠DCG=45°??∵∠ACB=90° F AC=BC??∴∠B=∠BAC=45°??∴∠B=∠DCG=∠ACG??∵C

B F⊥AD??∴∠ACF+∠DCF=90° A E ??∵∠ACF+∠CAF=90°??∴∠CAF=∠DCF??∵ AC=CB 图9

∠ACG=∠B??∴△ACG≌△CBE??∴CG=BE

??∵∠DCG=∠B CD=BD??∴△CDG ≌△BDE??∴∠ADC=∠BDE

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