结构动力学作业答案(roy r.craig)

P2.3 解答

2.3 如图所示，刚性梁AB受到弹簧BC的激励。C点的运动方程为z(t)。试用B点的位移u为变量来推导系统的运动方程。假设为小运动，采用牛顿定律来求解。

解：

1. 画自由体受力图

2. 列力矩平衡方程

?MA?0

根据受力分析，可知：

LL?MI?f1?fc1?f2L?0

22

3. 力与位移关系

－1－

?/2； 弹簧力f2?k2(z?u) 弹簧力f1?k1u/2； 阻尼力fc1?c1u惯性力矩MI??LLMll21??)?l??u??M2dl?u??ML dm?a?l??(dl)?(u00LL3LL0

4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简：

111???c1u??(k1?k2)u?k2z Mu344

P2.13 解答

2.13 一根均匀的杆的质量密度为（

?，其杆端有一集中质量M。应用假定振型法

?(x)?x/L）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。

解：

1. 形函数及几何边界条件

U(0,t)?0 U(x,t)??(x)u(t)

－2－

2. 建立虚功方程

?W'??Wnc??V??Winertia?0

因为没有外力，所以?Wnc?0

?V??(AEU')?Udx?AE?0LL0u?uAEudx??u LLL12对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功?Winertia和杆端集中质量的虚功?Winertia。

1??)?Udx???Winertia???(?AU0L???u?AuL2?L0x2dx???AL3???u u2??(L,t)?U(L,t)??Mu???u ?Winertia??MU3. 化简

AE???AL?????(?M)uu??u?0

L??3因为?u为虚位移，即?u?0，所以运动方程为

?ALAE???(?M)uu?0

3L

P3.7 解答

3.7 一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m，总阻尼为1.2kN.s/m。试求如下初始条件的运动u(t)。

解：

－3－

1. 运动方程及其相关参数

由图可知，其运动方程为

???cu??ku?0 mu其中m?70kg，k?5?104N/m，c?1200N?s/m。所以

?n?k50000??26.73 rad/sm70ccr?2m?n?2?70?26.73?3742.2N?s/mc1200????0.32ccr3742.2

?d??n1??2?26.73?1?0.322?25.32 rad/s2. 系统的自由振动解

??0???nu0?uu(t)?e???nt?u0cos?dt????d?????sin?td? ???3. 不同初始条件下的自由运动

?0?0 （a）u0?10mm,u????uu(t)?e???nt?u0cos?dt?n0sin?dt??d??

1?8.55t?cos25.32t?0.34sin25.32t??e100

?0?100mm/s （b）u0?0,uu(t)?e???nt?0usin?dt??1e?8.55tsin25.32t 253.2?d

P4.8 解答

4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源。下图正是这样一个例子。（M－m）是机械

－4－

的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为?。 a. 推导机械垂向运动方程；

b. 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线。

解：

1. 向心力及其垂向分量

向心力的大小F?me?2，垂向分量为Fu?Fsin?t?me?2sin?t。 2. 系统的运动方程

???cu??ku?me?2sin?t Mu化简后可得：

2???2??nu???nuu?me2?sin?t M3. 系统的稳态响应

me2?ku?(1?r2)2?(2?r)22?rtan??1?r2sin(?t??)??1/2

现在考虑其频率响应幅值

－5－

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