北大ACM试题分类[1](6)

和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

【问题】 组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

【程序】

# include

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{ int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{ a[k]=i;

if (k>1)

comb(i-1,k-1); else

{ for (j=a[0];j>0;j--)

printf(“M”,a[j]);

printf(“\\n”); }

}

}

void main()

{ a[0]=3;

comb(5,3); }

【问题】 背包问题

问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

对于第i件物品的选择考虑有两种可能：

（1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

（2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

按以上思想写出递归算法如下：

try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)

{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/

if(包含物品i是可以接受的)

{ 将物品i包含在当前方案中；

if (i

try(i+1,tw+物品i的重量,tv);

else

/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/

以当前方案作为临时最佳方案保存;

恢复物品i不包含状态；

}

/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/

if (不包含物品i仅是可男考虑的)

if (i

try(i+1,tw,tv-物品i的价值)；

else

/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/

以当前方案作为临时最佳方案保存;

}

为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

价值 4 4 3 1

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。

按上述算法编写函数和程序如下：

【程序】

# include

# define N 100

double limitW,totV,maxV;

int option[N],cop[N];

struct { double weight;

double value;

}a[N];

int n;

void find(int i,double tw,double tv)

{ int k;

/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{ cop=1;

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv; }

cop=0;

}

/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

} }

void main()

{ int k;

double w,v;

printf(“输入物品种数\\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“输入各物品的重量和价值\\n”);

for (totv=0.0,k=0;k

{ scanf(“”,&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V; }

printf(“输入限制重量\\

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