曲线拟合与插值理论与实例(3)

另一种方法，我们可以在两个方向插值。先在三维坐标画出原始数据，看一下该数据的粗糙程度(见图11.7)。

Temperature at Depth = 285

? mesh(width, depth, temps) % use mesh plot ? xlabel(' Width of Plate '), ylabel(' Depth of Plate ') ? zlabel(' Degrees Celsius '), axis(' ij '), grid

80Degrees Celsius75706560123Width of Plate45 图11.6 在深度d=2处的平板温度

90Degrees Celsius80706012Depth of Plate312345Width of Plate 图11.7 平板温度

然后在两个方向上插值，以平滑数据。

上面的例子清楚地证明了，二维插值更为复杂，只是因为有更多的量要保持跟踪。interp2的基本形式是interp2(x, y, z, xi, yi, method)。这里x和y是两个独立变量，z是一个应变量矩阵。x和y对z的关系是

? zlabel(' Degrees Celsius '), axis(' ij '), grid ? xlabel(' Width of Plate '), ylabel(' Depth of Plate ') ? mesh(wi, di, zcubic)

? zcubic=interp2(width, depth, temps, wi, di, ' cubic ') ; % cubic ? wi=1:0.2:5; % choose higher resolution for width ? di=1:0.2:3; % choose higher resolution for depth

z(i, :) = f(x, y(i)) 和 z(:, j) = f(x(j), y).

也就是，当x变化时，z的第i行与y的第i个元素y(i)相关，当y变化时，z的第j列与x的第j个元素x(j)相关，。xi是沿x-轴插值的一个数值数组；yi是沿y-轴插值的一个数值数组。

90Degrees Celsius80706012Depth of Plate312345Width of Plate 图11.8 二维插值后的平板温度

可选的参数method可以是 'linear'，'cubic'或'nearest'。在这种情况下，cubic不意味着3次样条，而是使用3次多项式的另一种算法。linear方法是线性插值，仅用作连接图上数据点。nearest方法只选择最接近各估计点的粗略数据点。在所有的情况下，假定独立变量x和y是线性间隔和单调的。关于这些方法的更多的信息，可请求在线帮助，例如，? help interp2，或参阅MATLAB参考手册。

11.4 M文件举例

虽然对于许多应用，函数interp1和interp2是很有用的，但它们限制为对单调向量进行插值。在某些情况，这个限制太严格。例如，考虑下面的插值：

? x=linspace(0, 5); ? y=1-exp(-x).*sin(2*pi*x); ? plot(x, y)

1.61.41.210.80.60.40.2012345 图11.9 函数1-exp(-x).*sin(2*pi*x)的曲线

函数interp1可用来在任何值或x的值上估计y值。

然而，interp1不能找出对应于某些y值的x值。例如，如在图11.9上所示，考虑寻找y=1.1处的x值：

? yi=interp1(x, y, 1.8) yi = 1.1556

1.61.41.210.80.60.40.2012345 图11.10 给y值在函数曲线上求x的值

从图11.10上，我们看到有四个交点。使用interp1，我们得到：

这个函数interp1失败，由于y不是单调的。

在本章精通MATLAB工具箱所说明的M文件例子，消除了单调性的要求。

? xi=mminterp(table, 2, 1.1) xi =

0.5281 1.1000 0.9580 1.1000 1.5825 1.1000 1.8847 1.1000

? table=[x; y].' ; % create column oriented table from data

? xi=interp1(y, x, 1.1) ??? Error using ==> table1

First column of the table must be monotonic.

? plot(x, y, [0, 5], [1.1 1.1] )

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