哈工大随机信号实验报告(2)

二、 实验内容

1. 对实验一产生的各种分布的随机数进行均值和方差的检验。

2. 对实验一产生的各种分布的随机数概率分布进行统计，并在计算机屏幕上显示实际统计的概率密度直方图。

三、 实验原理

1. 均值的计算

在实际计算时，如果平稳随机序列满足各态历经性，则统计均值可用时间均值代替。这样，在计算统计均值时，并不需要大量样本函数的集合，只需对一个样本函数求时间平均即可。甚至有时也不需要计算N??时的极限，况且也不可能。通常的做法是取一个有限的、计算系统能够承受的N求时间均值和时间方差。根据强调计算速度或精度的不同，可选择不同的算法。

设随机数序列{x1,x2,?,xN}，一种计算均值的方法是直接计算下式

m?1N?xn Nn?1式中，xn为随机数序列中的第n个随机数。

另一种方法是利用递推算法，第n次迭代的均值也亦即前n个随机数的均值为

mn?n?111mn?1?xn?mn?1?(xn?mn?1) nnnm?mN

迭代结束后，便得到随机数序列的均值

递推算法的优点是可以实时计算均值，这种方法常用在实时获取数据的场合。 当数据量较大时，为防止计算误差的积累，也可采用

1Nm?m1??(xn?m1)

Nn?1式中，m1是取一小部分随机数计算的均值。 2. 方差的计算

计算方差也分为直接法和递推法。仿照均值的做法

?2?21N?(xn?m)2 Nn?11N2???xn?m2

Nn?1方差的递推算法需要同时递推均值和方差

mn?mn?1?2?n?1(xn?mn?1) nn?121[?n?1?(xn?mn?1)2] nn迭代结束后，得到随机数序列的方差为

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2 ?2??N其它矩函数也可用类似的方法得到。 3. 统计随机数的概率密度直方图

假定被统计的序列x(n)的最大值和最小值分别为a和b。将(a,b)区间等分M（M应与被统计的序列x(n)的个数N相适应，否则统计效果不好。）份后的区间为

(b?a)(b?a)2*(b?a))，(a?,a?)，… , MMM(b?a)(M?1)(b?a)(i?1)2*(b?a)*i,b)。用f(i)，表示序(a?,a?)，… , (a?MMM(b?a)(i?1)2*(b?a)*i,a?)区间里的个数，统计序列x(n)列x(n)的值落在(a?MM(a,a?的值在各个区间的个数f(i)，i?0,2,?,M?1，则f(i)就粗略地反映了随机序列的概率密度的情况。用图形方式显示出来就是随机数的概率密度直方图。

四、 实验过程和结果分析

1、均匀分布、高斯分布随机数均值、方差的检验及概率密度直方图

① 思路：随机产生一组数算出均值、方差，与理论值比较。

② 程序

x=random('unif',5,10,1,20000);%产生20000个服从于U（5,10）的随机数 y=random('normal',0,1,1,3000);%产生3000个服从于N（0,1）的随机数 subplot(211),hist(x,5:0.1:10);title('均匀分布随机数') subplot(212),hist(y,-3:0.1:3);title('高斯分布随机数') m1=mean(x)v1=var(x) m2=mean(y) v2=var(y)

③ 仿真图形

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④ 分析： 随机数 计算均值 7.5599 均匀分布 0.0096 高斯分布 理论均值 7.5 0 计算方差 2.1252 1.0024 理论方差 2.083 1 2、瑞利、指数、?2分布随机数均值、方差的检验及概率密度直方图 ① 思路：随机产生一组数算出均值、方差，与理论值比较。

② 程序

N=5000;

G1=random('Normal',0,1,1,N); G2=random('Normal',0,1,1,N); G3=random('Normal',0,1,1,N); G4=random('Normal',0,1,1,N); R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2); E=G1.*G1+G2.*G2;

X=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;

subplot(311);hist(R,0:0.05:4);title('瑞利分布随机数') subplot(312);hist(E,0:0.1:15);title('指数分布随机数')

subplot(313);hist(X,0:0.2:21);title('4自由度x^2分布随机数') m1=mean(R) v1=var(R) m2=mean(E) v2=var(E)

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m3=mean(X) v3=var(X)

③ 仿真图形

④ 分析： 随机数 瑞利分布 指数分布 计算均值 1.2312 1.9449 3.9094 理论均值 1.253 2 4 计算方差 0.4291 3.9573 7.9289 理论方差 0.429 4 8 ?2分布 实验三 中心极限定理的验证

一、 实验目的

利用计算机产生均匀分布的随机数。对相互独立的均匀分布的随机变量做和，可以很直观看到均匀分布的随机变量的和，随着做和次数的增加分布情况的变化，通过实验对中心极限定理的进行验证。

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二、 实验内容

产生多组[0,1]区间上的均匀分布的随机数序列，各序列的对应元素做和，够成的和序列再进行随机数的概率密度直方图的统计，并作图显示。

三、 实验原理

如果n个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有限的数学期望和方差，当n无穷大时，它们之和的分布趋近于高斯分布。这就是中心极限定理中的一个定理。

我们以均匀分布为例，来解释这个定理。若n个随机变量Xi (i=1,2,…,n)都为[0,1]区间上的均匀分布的随机变量，且互相独立，当n足够大时，其和Y??Xii?1n的分布接近高斯分布。

四、 实验过程和结果分析

① 思路：产生n个[0,1]区间上的均匀分布的随机数序列并作和，n取三组值，此外再产生一个高斯分布随机数，对四组随机数进行比较。

② 程序

X1=random('unif',0,1,1,2000); X2=random('unif',0,1,1,2000); X3=random('unif',0,1,1,2000); X4=random('unif',0,1,1,2000); X5=random('unif',0,1,1,2000); X6=random('unif',0,1,1,2000); G=random('normal',0,1,1,2000);

Y1=X1+X2+X3; Y2=X1+X2+X3+X4+X5+X6; subplot(411);hist(X1,0:0.05:2); subplot(412);hist(Y1,0:0.05:4); subplot(413);hist(Y2,0:0.05:6); subplot(414);hist(G,-3:0.05:3);

③ 仿真图形

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