光学题目及答案_(3)

第一章 光的干涉 课后习题解答

A?a2?a3?a4?也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为：

11a2?a4?a1 22 光强度为：I?a12 没有光阑时，P点的光强度：I0=a12/4

得到：I ：I0 = 4 ：1

4 波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？

解：已知：r0=1m、Rk=2.76m、λ=632.8nm、R=∞

2（1）根据：k?Rk(1?1)

?Rr0解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3 因P点接受到奇数个半波带，则P点应为亮点。

（2）若使P点变成与（1）相反的情况，则k要取为偶数，即：k=2或4 当k=4时， r0?2Rk??750mm k?屏幕至少要向前移动：Δr0 =1m-0.75m=0.25m 当k=2时， r0?2Rk??1505mm k?屏幕至少要向后前移动：Δr0 =1.5m-0.75m=0.5m

5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r1的不透明圆盘，第二波带是r1到r2的透明圆环，第三波带是r2到r3的不透明圆环，第四波带是r3到r4的透明圆环，第五波带是r4至无穷大的不透明区域。已知：r1：r2：r3：r4=1：2：3：4，用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m的轴上，试求：（1）r1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？

解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算

2公式为： k?rk 已知：r1：r2：r3：r4=1:2:3:4

?r021第一波带遮住的波带数：k1?r ?r0第二波带露出的波带数：k222r22r1 ???r0?ro221第三波带遮住的波带数：k3?r3?3r

?r0?r0221第四波带露出的波带数：k4?r4?4r

?r0?r0波带片遮住和露出波带数之比：k1:k2:k3:k4?1:2:3:4

若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：k1=1、k2=2、k3=3、k4=4，

（1）将r0=1m、λ=500nm、 k=1代入：r1?k1?r0 解出： r1?0.07cm

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第一章 光的干涉 课后习题解答

（2）从：k1:k2:k3:k4?1:2:3:4看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光

2强度为：I?(a2?a4)2?4a1） ?16I0 （I0为光自由传播时的强度。

（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。

6 波长为λ的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I：I0。

解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带

光强度为：I?(a1?a3?a5?...?a199)2?10000a12

用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，

则光强度为：I0?(a1?a2?a3?...?a200)2?40000a12 两种情况下的光强之比为：I:I0?1:4

7 平面光的波长为480nm，垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm，分别计算当缝的两边P点的位相差为π/2和π/6时，P点离焦点的距离。

解：缝两边的光传播到P点的光程差： ??dsin?

相位差：???2?dsin?

?从图中: sinθ≈tgθ=y/f＇ 得到：y= f＇sinθ 已知：λ=480cm、d=0.4mm、 f＇=60cm 当:????/2 ，由上式解得：sinθ1=0.003 P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.018cm 当:????/6 ，由上式解得：sinθ1=0.001

P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.006cm

8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。

1?解：单缝衍射图样中，次最大的位置：sin??（k?）

2b1?7?1某一波长的第三级次最大的位置：sin?3? （3?）1?2bb2b1?5?2600nm光波的第二级次最大位置：sin?2? （2?）2?22b 12

第一章 光的干涉 课后习题解答

因两个次最大的位置重合，有：sin?2?sin?3 解出某光的波长：?1?428.6nm

9 波长为546.1nm的平行光垂直照射在1mm宽的缝上，若将焦距为100cm的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？

解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为θ

（1）第1最小值的衍射角：sin???

b其位置：y= f＇sinθ= f＇λ/b=0.055cm

（2）第1最大值的衍射角：sin??(k?1)? k=1

2b其位置：y??f?sin??f?3?=0.082cm 2bb（3）第3最大值的衍射角：sin??k? k=3

=0.164 cm b10 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?

解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y1；第二最小值到中央的距离为：y2

对第一最小值：sin?1?其位置：y??f?sin??3f???b?y1? y1?L Lb?y2? y2?2L Lb对第二最小值：sin?2?2?b两最小值间的距离：?y?y2?y1?L

b已知：Δy=0.885cm、 L=300cm、 b=0.2mm，代入上式， 解得钠光的波长：λ=590nm

?当用波长λ=0.1nm 的X射线时：?y?L?1.5?10?13mm

b?

11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为b，相邻两缝之间的距离为d，且d=3b。

解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b，所以第3、6、9、…

级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sinθ为横坐标，做出衍射图

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第一章 光的干涉 课后习题解答

样。

12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm，最长红光的波长为760nm。

解：在光栅衍射中，因θ∝λ/d，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。

已知：红光波长λ1=760nm、紫光波长λ2=400nm、d=1/50mm 设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为θ1，

有：dsinθ1=j1λ1 解得： sinθ1=j1λ1/d=760/d θ1≈2.1880 第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为θ2，

有：dsinθ2=j2λ2 解得： sinθ2=j2λ2/d=800/d θ2≈2.2920 衍射角的扎：θ2-θ1=2.2920-2.1880 =0.110≈7＇

13 用可见光（400nm—760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sinθ1=j1λ1/d=760/d 二级谱线始端的衍射角：sinθ2=j2λ2/d=800/d 因：sinθ2=800/d > sinθ1 =760/d

所以，一级光谱和二级光谱不重叠。

二级谱线末端的衍射角：sinθ3=j2λ1/d=1520/d 三级谱线始端的衍射角：sinθ4=j3λ2/d=1200/d 因：sinθ3=1520/d < sinθ4 =1200/d 所以，二级光谱和三级光谱重叠。

14 用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大之间的衍射角为15010＇，求该光栅1cm内的缝数是多少？

解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：θ=15010＇ 已知波长：λ=589nm，由光栅方程：dsinθ=jλ 解得光栅常数：d=0.0045cm

1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm

15 用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱，试问：（1）光垂直入

0

射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以30角入射时，最多能观察到几级谱线？

解：已知：光栅常数：d=1/400mm 光波波长：λ=589nm

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第一章 光的干涉 课后习题解答

当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：θ=900 （1）光垂照射光栅时，由光栅方程：dsinθ=jλ 解得：j≈4，即最多能观察到4级谱线。

（2）光以θ0= 300角入射时，光栅方程为：d（sinθ±sinθ0）=jλ 将：θ0= 300、θ=900、d=1/400mm、λ=589nm代入 d（sinθ+ sinθ0）=jλ 解出最大的衍射级数：j=6

16 白光垂直照射到一个每毫米有200条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现那些波长的光？其颜色如何？

解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：θ=300 由光栅方程：dsinθ=jλ （j=0、1、2、3、…）

得到：λ=dsinθ/j ,代入数据,在可见光的范围内解得: j=3时，λ1=666.7nm,是红色光； j=4时，λ2=500nm, 是黄色光； j=3时，λ3=400nm, 是紫色光；

三种色光的谱线在300方向上重合在一起。

17用波长为624nm单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条，求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度为多少？

解：已知：λ=624nm、b=0.012mm、a=0.029mm、N=103条 计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm

（1）单缝衍射图样的中央角宽度：Δθ=2λ/b=5.960

（2）由：dsinθ=jλ和sinθ=λ/b，解得：j=d/b≈3.4

因衍射级数应取整数,所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱的级数为3级,有n=2j+1=7条谱线。

（3）根据：Δθ=λ/Ndcosθ，在θ不太大时，θ≈0， 解得：谱线的半角宽度：Δθ=1.52×10-5rad

18 波长为600nm的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sinθ1=0.2和sinθ2=0.3处，第四级为缺级。（1）试求光栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。

解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j、j+1。 有： dsinθ1=jλ d sinθ2=（j+1）λ 两式相比：sin?1?j 解出：j=2

sin?2j?1再代入：dsinθ1=jλ 得到光栅常数：d=6×10-6m=6×10-3mm

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