2012年数学高考复习资料 ——数学考点总动员
????????????????已知平面向量?,?（???）满足??2,且?与???的夹角为120°，则(1?t)?+t?(t?R)的最小值是
????答案：解析：
3 ???????2??cos??,?????????(???)?????12????????????12??2????2|??||???|?|??||???|???????4????12?????????|???|?4?|???|?4????两边平方??=-9???+12+（???）（*）?2?22|???|????|(1?t)??t?|??22[(1?t)??t?]??2??2(1?t)??t??2t(1?t)???22??4(1?t)?t??2t(1?t)?????把（*）代入上式，可以得到关于???二次函数，利用性质可得。三.解答题
17【河北省正定中学2011—2012学年度高三上学期第二次月考（数学理）】
???ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m?(?1,1)，
?n?(cosBcosC,sinBsinC?32???)，且m?n．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）现在给出下列三个条件：①a?1；②2c?(3?1)b?0；③B?45?，试从中再选 择两个条件以确定?ABC，求出所确定的?ABC的面积．
???3?0……………2分 解析：(I)因为m?n，所以?cosBcosC?sinBsinC?23232即：cosBcosC?sinBsinC??，所以cos(B?C)??…………4分
因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA
32所以cosA?,A?30……………………………………6分
?(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定?ABC，
?因为A?30,a?1,2c?(3?1)b?0
考点四 平面向量 11
2012年数学高考复习资料 ——数学考点总动员
由余弦定理，得：12?b2?(3?126?2b)?2b?23?12b?32
整理得：b2?2,b?2,c?2……………10分
所以S?ABC?12bcsinA?12?2?6?221??23?14……………………12分
方案二:选择①③，可确定?ABC， 因为A?30?,a?1,B?45?,C?105?
6?42又sin105??sin(45??60?)?sin45?cos60??cos45?sin60??
由正弦定理c?asinCsinA?1?sin105sin3012???6?22222……………10分
所以S?ABC?12acsinB??1?6?2??3?14……………12分
（注意;选择②③不能确定三角形）
18.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
已知向量m?(sinA,cosA), n?(cosB,sinB), m?n?sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角. （Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比数列, 且CA?(AB?AC)?18, 求c的值 解析： (Ⅰ) ∵m?(sinA,cosA), n?(cosB,sinB),m?n ?sin2C, ∴sinAcosB?cosAsinB?sin2C 即 sinC?sin2C
1? ∴ cosC?，又C为三角形的内角， ∴ C? ??????6分
23 (Ⅱ) ∵sinA,sinC,sinB成等比数列， ∴c?ab
又CA?(AB?AC)?18,即 CA?CB?18, ∴ abcosC?18
2∴ c?ab?36即c?6 ??????12分
219【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx?212,x?R．
(Ⅰ) 求函数f(x)的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知?ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c?3,f(C)?0，若向量
???m?(1,sinA)与n?(2,sinB)共线，求a、b的值．
考点四 平面向量 12
2012年数学高考复习资料 ——数学考点总动员
解：(Ⅰ)
f(x)?3sinxcosx?cosx?212?32sin2x?12cos2x?1?sin(2x??6)?1
∴ f(x)的最小值为?2，最小正周期为?. ????????????5分 （Ⅱ）∵ f(C)?sin(2C?∵ 0?C??，??6?2C??6)?1?0， 即sin(2C??11?6?6)?1
?6，∴ 2C??6??2，∴ C??3． ??7分
???∵ m与n共线，∴ sinB?2sinA?0．
由正弦定理
asinA?bsinB， 得b?2a, ①?????????????9分
?322∵ c?3，由余弦定理，得9?a?b?2abcos， ②????????11分
解方程组①②，得??a?3． ????????????????13分
b?23??y?8上任意
220.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知点P是圆F1:(x?1)2一点，点F2与点F1关于原点对称。线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点． （1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P,Q两点,若OP?OQ?0（O为坐标原点），试求直
线l在y轴上截距的取值范围．
解：（1）由题意得，F1(?1,0),F2(1,0),圆F1的半径为22，且|MF2|?|MP| ??? 1分 从而|MF1|?|MF2|?|MF1|?|MP|?|PF1|?22?|F1F2| ???? 3分 ∴ 点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, ???? 5分
其中长轴2a?22,得到a?则短半轴b?1 椭圆方程为:
x2????????2,焦距2c?2，
2?y?1 ???? 6分
2（2）设直线l?y?kx?n?的方程为y?kx?n,由?x2 2?y?1??2可得(2k2?1)x2?4knx?2n2?2?0
考点四 平面向量
13
2012年数学高考复习资料 ——数学考点总动员
则??16k2n2?8(n2?1)(2k2?1)?0,即2k2?n2?1?0 ① ???? 8分 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1?x2??????????4kn2k?12,x1x2?2n?22k?122
由OP?OQ?0可得x1x2?y1y2?0,即x1x2?(kx1?n)(kx2?n)?0 ????10分 整理可得(k2?1)x1x2?kn(x1?x2)?n2?0????12分
即
(k?1)(2n?2)2k?1222?kn?(?4kn2k?12)?n?0
2化简可得3n2?2k2?2,代入①整理可得n2?故直线l在y轴上截距的取值范围是(??,?122,
22,??)． ????14分
2)?(21.（2011杭师大附中高三年级第一次月考卷）设?ABC的三个内角A、B、C所对
的边分别为a、b、c，且满足(2a?c)BC?BA?cCA?CB?0． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b?23，试求AB?CB的最小值．
????????????????解：（Ⅰ）因为(2a?c)BC?BA?cCA?CB?0，
所以(2a?c)accosB?cabcosC?0，
即(2a?c)cosB?bcosC?0，则(2sAi?n2siAncB?os22CsinB?)coBs2?3sC?i所以
C?siBn?(，即cosB??212，所以B?
（Ⅱ）因为b?a?c?2accos2?322，所以12?a?c?ac?3ac，即ac?4
当且仅当a?c时取等号，此时ac最大值为4 ????????????????2?1??ac??2，即AB?CB的最小值为?2 所以AB?CB=accos32
考点四 平面向量 14
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