2008年龙岩一中高考模拟考试数学(理)试卷(3)

当x?1时，h??x??0，h?x?在?1,???上是单调递减； 所以，函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间为?0,1?；

单调递减区间为?1,???. ?????????? 4分 （II）b=2时，h(x)?lnx?1x212ax?2x

2则h(x)?'?ax?2??ax?2x?1x

因为函数h?x?存在单调递减区间，所以h'(x)＜0有解.

即当x＞0时，则ax?2x?1?0在?0,???上有解. ?????????? 5分

2①当a＝0时，y?2x?1为单调递增的一次函数，y?2x?1＞0在（0，+∞）总有解. ②当a＞0时，y?ax2?2x?1为开口向上的抛物线，y?ax2?2x?1＞0在（0，+∞）总有解.

③当a＜0时,y?ax2?2x?1为开口向下的抛物线,而y?ax2?2x?1＞0在（0，+∞）总有解.

则△=4+4a＞0，且方程y?ax?2x?1=0至少有一个正根，此时，－1＜a＜0

综上所述，a的取值范围为（－1，+∞） ?????????? 9分 （III）证：设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),0?x1?x2 则点M、N的横坐标为x?x1?x222

2x1?x2C1点在M处的切线斜率为k1?1x|x?x1?x22?,

C2点N处的切线斜率为k2?ax?b|x?x1?x22?a(x1?x2)2?b ?????? 10分

假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2

即

2x1?x2?a(x1?x2)2a2?b,则

2(x2?x1)x1?x2?(x2?x1)?b(x2?x1)?22a2(x2?bx2)?(2a2x1?bx1)?y2?y1?lnx2?lnx12

?lnx2x12(?x2x1?1)x2x12(t?1)1?t.

1?设t?x2x1，则lnt?,t?1① ?????????? 12分

令r(t)?lnt?2(t?1)1?t,t?1.则r'(t)?1t?4(t?1)2?(t?1)22t(t?1)

因为t>1时，r'(t)?0，所以r(t)在?1,???上单调递增.故r(t)?r(1)?0 则lnt?2(t?1)1?t.这与①矛盾，假设不成立.

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. ?????????? 14分

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