习题四(5)

8. 设总体X的密度函数为f?x;???12?e?x?,????x????，其中??0未知，

设X1,X2,?,Xn是取自这个总体的一个样本，试求?的最大似然估计。

n?Xi解 似然函数 L????对数似然函数为

1?2??ne?i?1?，

lnL?????nln?2???n1n??Xii?1dlnL???d???n?Xi?i?1

?0??1nn2?得?的最大似然估计量为???Xi。

i?19. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计？

2n??1n?2n?解 E??E?2X??2E?X??2E??Xi???E?Xi?????ni?12?ni?1?ni?1??

故?的矩估计量2X

是?

的无偏估计。

习题十一

1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布

??,0.2?2?，从某天生产的产品中随机抽取

6个，量得直径如下（单位：mm）：

14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求?的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

解 由于?2?0.22已知，所以选用?的

1??置信区间

????X?u,X?u????。 1?1?22nn??当

1???0.9，查表得

u1???u0.95?1.642，当

1???0.99，查表得

u1???u0.995?2.576。x?14.95,n?6,

2代入数据得?的双侧0.9置信区间观测值为

?0.20.2?14.95?1.64?,14.95?1.64???，即为?14.82,15.08?。

66???的双侧

0.99置信区间观测值为?14.95?2.576???0.26,14.95?2.576?0.2??，即为6??14.74,15.16?。

6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量x?501g，已知其总体标准差?1?5g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量y?498g，已知其总体标准差?2?4g，求甲乙两条猪肉罐头生

产线生产罐头质量的均值差?1??2的双侧0.99置信区间。

解 由于?1?5g,?2??X?Y?u?1?2???4g2已知，故?1??2的1??的双侧置信区间为

?12?12m??2n,X?Y?u1??2m?2?2?? n??22代入数据得

?1??2x?501,y?498,m?10,n?20,?1?25,?2?16,u0.995?2.576，故为

的0.99双侧置信区间观测值

?25162516?501?498?2.576?,501?498?2.576???，即为??1.68,7.68?。

10201020????

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