概率论与数理统计练习册(最新)

院（系） 班 姓名 学号 第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件

一、写出以下随机试验的样本空间：

1.从两名男乒乓球选手A,B和三名女乒乓球选手C,D,E中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以Ai表示第i人考取（i?1,2,3）.试用Ai表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。 三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A的逆事件A是怎样的事件？

1. A表示至少出现3次正面；2. A表示至多出现3次正面；3. A表示至少出现3次反面。 四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C表示“取得的球的号码小于5”，则C,A?C,AC,A?C,A?B,AB分别表示什么事件？

五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”。 （1）说出事件ABC的含义；

（2）什么时候有恒等式A?B?C?C; (3) 什么时候有关系式C?B正确; （4）什么时候有等式A?B成立。

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练习1.2 概率、古典概型

一、填空

1.已知事件A，B的概率P(A)?0.7,P(B)?0.6,积事件AB的概率P(AB)?0.4,则

P(A?B)? , P(A?B)? , P(A?B)? ,

P(A?B)? ,P(AB)? , P(A?AB)? . 2. 设A,B为两个事件，P(B)?0.7,P(AB)?0.3,则P(A?B)? . 3. 设A,B为两个任意不相容事件，,则P(A?B)? .

4. 设A,B为两个事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)? . 5. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率为 .

二、设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7,求

(1) 在什么条件下，P(AB)取到最大值？ (2) 在什么条件下，P(AB)取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求

(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头。甲轮卸完油要一小时，乙轮要两小时。假设每艘油轮在8时到20时的每一时刻抵达码头的可能性相同。

1.求甲乙两轮都不需等候空出码头的概率；

2.设A表示甲、乙同一时刻抵达码头，问A是否是不可能事件，并求P(A)。 五、某年级有10名大学生是1986年出生的，试求这10名大学生中

1.至少有两人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日过生日的概率。 六、设P(A)?P(B)?11,P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，则A,B,C全不发461,求证：P(AB)?P(AB) 2七、设A,B为两个事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,求P(AB)。

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练习1.3 条件概率、全概率公式

一、填空

1.设A,B为两个事件，P(A)?a,P(B)?b,P(B|A)?c,且a,b,c都是已知的小于1的正数，则P(AB)? ，P(A?B)? , P(A?B)? ,

P(AB|)? ，P(B|A)? , P(B|A)? . 2.设A,B为两个事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,则P(AB)? . 3. 设A,B,C为一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)? ,P(AB)? . 4. 已知A1,A2,A3为一完备事件组，P(A1)?0.1，P(A2)?0.5，P(B|A1)?0.2，

P(B|A2)?0.6，P(B|A3)?0.1，则P(A1|B)? . 5. 设A,B为随机事件，且P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B则P(AB ｜A)?0.85，｜)? ，P(A?B)? . 二、一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时以上的概率为0.4，现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率。

三、有十箱产品，已知其中三、二、五箱分别是第一、第二、第三车间生产的，各车间的次品率分别是0.2，0.1，0.05，现在任取一箱，再从中任取一件：

1.求此件为次品的概率；2.如果此件为次品，问是哪个车间生产的可能性最大？ 四、人群中患肝癌的概率为0.0004.用血清甲胎蛋白法检查时，患有此病被确诊的概率为0.95，未患被误诊的概率为0.01.问普查时，任一人被此法诊断为肝癌患者的概率有多大 ？？设此人被此法诊断为肝癌患者，问此人真患有肝癌的概率有多大？比未作检查时的概率增大了多少倍？

五、有两箱同型号的零件，A箱内装50件，其中一等品10件；B箱内装30件，其中一等品18件.装配工从两箱中任选一箱，从箱子中先后随机地取两个零件（不放回抽样）。求： (1)先取出的一件是一等品的概率；

(2)在先取出的一件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。 六、为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统（I）和（II），每种系统单独使用时，系统（I）和系统（II）有效的概率分别为0.92和0.93.在系统（I）失灵的情况下，系统（II）仍有效的概率为0.85，求两个警报系统至少有一个有效的概率。

七、设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为B型， 33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选 一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？（V：允许输血；X：不允许输血）。 输血者 受血者 A型 B型 AB型 O型 A型 B型 AB型 O型

√ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ √ √ √ 院（系） 班 姓名 学号

练习1.4 独立性

一、填空

1. 将一枚骰子独立地先后掷两次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，设

A=｛X+Y=10｝｛X?Y｝，B=,则

（1）P(B|A)? ; (2) P(A|B)? ；（3）P(A?B)? 。 2.设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(A?B)? 。 3. P(A，A2，A3为相互独立的事件,则 1)?P(A2)?P(A3)?1/3,A1（1）A，A2，A3至少出现一个的概率为 ； 1（2）A，A2，A3恰好出现一个的概率为 ； 1（3）A，A2，A3最多出现一个的概率为 。 14.设P(A)?0.3，P(A?B)?0.6，那么：（1）若A,B为互不相容的事件，则P(B)? ；（2）若A,B为相互独立的事件，则P(B)? ；（3）若A?B，则P(B)? . 二、设5件产品中2件是次品3件是正品，对每件产品进行检验，令A表示被检验到的那件产品是次品，则P(A)?2/5, P(A)?3/5.对一件产品作检验可看成一次试验，于是作了5次试验，据二项概率公式可知，事件A恰好发生2次的概率为

?2??3?P5(2)?C?????0.3456.因此这5件产品中恰有2件次品的概率为0.3456，另一方

?5??5?2523面这5件产品恰有2件次品是已有的事实，因此其概率为1，从而1=0.3456，请找出理由推翻此“等式”。

三、甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,试求： (1) 恰有一人译出的概率；（2）密码能破译的概率。

四、某种电阻的次品率为0.01，作有放回抽样4次，每次一个电阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。

五、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

六、加工某一零件共需要经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是0.02，0.03，0.05，假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件是次品的概率是多少？

七、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率。

八、若事件A,B相互独立，证明A,B也相互独立

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自测题（第一章）

一、填空（每空2分）

1.几何概率中，每个样本点的发生具有 ，而样本点的个数是 。 2.若事件A,B ,则称A,B互斥。 若又 ,则称A,B互逆。

3.若事件A,B ,则P(A?B)?P(A)?P(B),否则P(A?B)?P(A)?P(B)? . 4.设

A,B为两事件且P(A)?0，则 ?P(A)P(B|A),当A,B 时，

P(AB)?P(A)P(B. )5.事件A发生，而事件B和C至少发生一个这一事实可表示成 。事件A发生，必导致事件B和C至少发生一个这一事实可表示成 。

6. A表示投掷10次钱币时，至少出现4次正面，则A表示 正面或 反面。 7.在图书馆任取一本书，设A=｛是数学书｝，B=｛是中文版的｝，C=｛90年后出版的｝，则当图书馆里 时，有

A?B?C?A,当 时，有

(A?B)?C??.

二、判断正误（每小题3分）

1.若事件A的概率P(A)?0,则A??. ( ) 2.对任两事件A,B，有P(A?B)?P(A)?P(AB). ( )

3.若A=｛男足球队员｝，则A=｛女足球队员｝。 （ ） 4.若事件A,B有关系A?B,则P(A)?P(B). ( ) 5.若事件A,B,C相互独立，则A,B,C也相互独立。 ( ) 6.口袋中有四个球，其中三个球分别是红、白、黄色的，另一个球染有红、白、黄三色。现从口袋中任取一球，观察其颜色。令A=｛球染有红色｝，B=｛球染有白色｝，C=｛球染有黄色｝，那么事件A,B,C相互独立。 ( ) 三、写出以下两个试验的样本空间（每小题5分）

1.10件产品有3件是次品，其余均是正品。每次从中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出为止，记录取的次数。

2.30名学生进行一次考试，观察平均成绩（个人成绩采用百分制）。 四、（12分）设两相互独立的事件A,B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。

五、（10分）一个班组有7男3女十名工人，现要派4人去学习，求4名代表中至少有2名女工的概率。 六、（10分）甲、乙、丙三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4， 求此密码未被丙译出而甲、乙至少有一个译出的概率。 七、（12分）一种产品的正品率为0.96，使用一种简易方法检验时，将正品判为正品的概率为0.98，将次品误判为正品的概率为0.05。现任取一件用此法检验。 1.求此件被判为正品的概率；2.当判为正品时，求此件确是正品的概率。

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第二章 随机变量

练习2.1 随机变量及其分布函数

一、填空

1.随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率。 2．用随机变量X的分布函数F(x)表达下述概率： P{X?a}? ; P{X=a}? ;

P{X?a}? ; P{x1?X?x2}? . 3.若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??，其中x1?x2,则P{x1?X?x2}? . 二、分析下列函数中，哪个是随机变量X的分布函数？

x??2?0,x?0?0,?1??F(x)?,?2?x?0F(x)???sinx,0?x??; (1) 1; (2) 2?1,?2x???2,x?0????0,x?0?1?1F(x)?x?,0?x??(3) 3.

22?1?1,x???2?1,x?(1)?2F(X)?三、设随机变量X的分布函数有如下形式：,试填上(1),(2),(3)项。 ?1?x??(2),x?(3)四、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?B?arctgx,(???x??),求（1）A与B;(2)

P{?1?X?1}.

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练习2.2 离散型随机变量及其分布

一、填空

(1) 设随机变量X的分布列为P{X?k}?ak(k?1,2,?,N),则a? . N(2)设随机变量X的分布列为 1 3 6 8 X pi 则P{0.2 0.1 0.4 0.3 1?X?3}= . 2(3)在一批10个零件中有8个标准件，从中任取2个零件，这2个零件中标准件的分布列是 . (4）已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为

1352,,,,则2c4c8c16cc= . (5)设随机变量X的分布律为P{X?k}?a?kk!,(k?0,1,2,?),??0为常数，试确定a= .

二、设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽样，以X表示取出的次品数，求X的分布列。

三、某一设备由一个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1。试求出该设备在一次试验中发生故障的元件数X的分布列。 四、P{X?n}?1(n?1为自然数）是一随机变量X的概率分布吗？为什么？

n(n?1)五、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有一个设备被使用的概率。

六、设每次射击击中目标的概率为0.001。如果射击5000次，试求击中两次或两次以上的概率。

七、有2500名同一年龄和同一社会阶层的人参加了保险了保险公司的人寿保险。在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可以保险公司领取2000元赔偿金，求： （1）保险公司亏本的概率；

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。

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练习2.3 连续型随机变量及其分布

一、填空

0?x?1;?x,?f(x)?X?a?x,1?x?2;，则a? . (1) 设随机变量的概率密度为

?0,其它。?(2)设X~N(?,?2),且P{??k??X???k?}?0.95,则k? 。

?2x, 0?x?1;,则P{0.3?X?0.7}? 。

0, 其它。?(3)设随机变量X的概率密度f(x)??(4)设测量某一目标的距离时发生的随机误差为X（米），且X量中误差的绝对值不超过30米的概率为 。

~N(20,402)，则在一次测

(5)设电阻的阻值R为一个随机变量，且均匀分布在900欧～1100欧，则R的概率密度函数

为 ，分布函数为 。

?k(1?x2)?,?1x?1;(6)若随机变量X的概率密度为f(x)??则k? ,

?0, 其它。1P{X?}? , P{0?X?2}? , P{0?X?2}? . 22(7) 设X服从正态分布N(3,2),则P{2?X?5}? , P{?2?X?7}? ,若

P{X?c}?P{X?c},则c? .

x?1?1000e,x?0;?(8)已知电气元件寿命X服从指数分布：f(x)??1000假设仪器装有5个这

?0, x?0。?样元件且其中任一个元件损坏时仪器即停止工作，则仪器无故障工作1000小时以上的概率为 .

???cosx, ??x?;?二、某学生求得一连续型随机变量的概率密度为f(x)??22试问该学生

??0, 其它。计算是否正确。

???cosx, 0?x?;三、连续型随机变量X的概率密度为f(x)??2试求分布函数F(x)及

??0, 其它。P{?X?}.

42??

四、设随机变量X的概率密度为f(x)?Ae?|x|,???x???.求（1）系数A; (2)

P{0?X?1}; (3) X的分布函数。

五、设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（小时）都服从同一指数分布，概

x?1?600e,x?0;?率密度为f(x)??600试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只元件

?0, x?0。?损坏的概率。

六、设随机变量X在?2，5?上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率。

?bx,0?x?1,?1?七、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??2,1?x?2,试确定常数b,并求其分布函数

?x??0,其它；

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练习2.4 随机变量函数的分布

一、填空

1.设X的分布列为 X ?1 0 1 2 3 4 1/12 1/6 1/3 1/12 1/4 1/12 pi

则Y?1?X的分布列为 。

若X?2n;?1,?1?2.设X可能取值为1，2，?,k,?,并设P{X?k}???,令Y??，

?2???1,若X?2n?1n?1,2,?.则Y的分布列为 。

3.设X的概率密度为f(x),则Y?X的概率密度为 。 4.设X的概率密度为f(x)??3k?2x, 0?x?1,?X,则Y?e的概率密度为 。

?0, 其它.5.若X1,X2,?,Xn是正态总体N(?,?2)的一组简单随机样本，则

X?1(X1?X2???Xn)服从 。 n?e?x,x?0,6.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??则X的函数Y?X的概率密度

?0,x?0.?Y(y)? 。

2二、设X～N(?,?),求证Y?3?X也服从正态分布。 5三、测量球的直径，设其值服从[a,b]上的均匀分布，求球的体积的分布密度。 四、设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y?1?2|X|的分布密度。 五、已知离散型随机变量X的分布列为： X -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 2 11/30 P{X?ai} 2试求：(1) Y?2X?1; (2) Y?X的分布列。

六、设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,0?x?1,求Y?3X?1的概率密度。

?0,其它?2/[?(1?x2)],x?0,七、设随机变量X的概率密度为fX(x)??求Y?lnX的概率密度。

0,x?0,?

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自测题（第二章）

一、填空（每小题4分）

1.将一枚匀质硬币抛掷三次，设X为三次中出现正面的次数，则P{X?1}? 。 2.设X在[a,b]内服从均匀分布，则X落在[a,c](c?b)内的概率为 。 3.设X的概率密度为f(x)???Csinx, 0?x??,则C= 。

?0, 其它,?1?e?x, x?0,4.设X的分布函数为F(x)??则X的概率密度为 。

?0, x?0,5.若某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，则每分钟恰有8次呼唤的概率为 。

二、判断正误（每小题4分）

x2(???x???)一定是某一随机变量X的分布函数； （ ）1.函数F(x)? 21?x2.设

X 1 2 3

pi 0.3 0.4 0.5

则它必为某随机变量的分布列； （ ）

?4x3, 0

0, 其它?24.若X～N(?,?)，则Y?X???也是一随机变量，且Y～N(0,1) ( )

三、（12分）设X～0--1分布，其分布列为P{X?1}?p,P{X?0}?q,其中p?q?1,求

X的分布函数，并作出其图形。

四、（13分）设X服从泊松分布，且P{X?0}?0.4,求P{X?2}.

五、（15分）设一支步枪击中飞机的概率为0.005，试求当1000支步枪同时开火时， 1.飞机被击中的概率；2. 飞机恰中一弹的概率。

六、（12分）随机变量X在[a,b]内的分布密度为f(x),在[a,b]外为0，求随机变量Y?3X的分布密度。

七、（12分）若随机变量X在(1,6)内服从均匀分布，则方程y?Xy?1?0有实根的概率为多大？

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第三章 随机向量

练习3.1 二维随机向量及其分布

一、填空

,4y??C, ?5x?10?1.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则??0, 其它 ?C? ; ?2e?(x?2y), x ? y0?,0,2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则??其它 ?0, P{X?Y?1}? ; ?1?e?x?e?y?e?x?y, x?0,y?0,3.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)??,则

?0, 其它 二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ;

4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?20,则二维随机变量222?(16?x)(25?y)(X,Y)的分布函数为 ; 5.用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下述概率：

（1）P{a?X?b,Y?c}? ; （2）P{X?a,Y?b}? ; （3）P{0?Y?a}? ; （4）P{X?a,Y?b}? .

二、掷二枚硬币，以X表示第一枚硬币出现正面的次数，Y表示第二枚硬币出现正面的次数，试求二维随机变量(X,Y)的联合分布。

?2xy?y?2,?x?, 0?x?1,0三、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??,试求3?其它 ?0, P{X?Y?1}。

??C(R?x2?y2, x2?y2?R2,四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??,

222??0, x?y?R222求:(1) 系数C; (2) (X,Y)落在x?y?r(r?R)内的概率。

五、设随机变量的联合分布律如下表： X Y 1 2 ?1 1/4 1/6 0 1/4 a 试求：（1）a的值；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y).

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练习3.2-3.3 二维随机变量的边缘分布和条件分布

?Cx2y, x2?y?1,一、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??

?0, 其它1. 试确定常数C；2. 求边缘概率密度。

二、设连续型随机变量(X,Y)在以原点为中心，各边平行于坐标轴，边长为2a和2b的矩形内服从均匀分布，求：

1. (X,Y)的概率密度；2.关于X和Y的边缘分布密度。

三、已知?的概率密度函数为P{??k}?(0.3)k(0.7)1?k,k?0,1,而且在??0及??1的条件下关于?的条件分布如下表：

? P{?|??0} P{?|??1} 1 1/7 1/2 2 2/7 1/3 3 4/7 1/6 试求：1. 二维随机变量(?,?)的联合分布律； 2. 关于?的边缘分布；

3. 在??3的条件下关于?的条件分布律。 四、设随机变量(?,?)的概率密度f(x,y)???1, |y|?x,0?x?1,求条件概率密度

?0, 其它 f?|?(y|x),f?|?(x|y).

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练习3.4 随机变量的独立性

一、填空

1.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则(p,q)? 时，X与Y相互独立。 Y X 0 1 2 2. 离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：

?1 1/15 q 1/5 1 p 1/5 3/10 (X,Y) P (1,1) 1/6 (1,2) 1/9 (1,3) 1/18 (2,1) 1/3 (2,2) (2,3) ? ? 若X与Y独立，则?? ，?? 。 二、设(X,Y)的联合分布为 Y X 0 1

判断X与Y是否相互独立。

0 9/25 6/25 1 6/25 4/25 ?32?xy, 0?x<2,0?y?1,三、设(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??2试求关于X与Y的边

??0, 其它 缘分布密度，且问X与Y是否相互独立。 四、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y y1 y2 1/9 y3 X x1 x2 a 1/9 c 1/3 b

若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值。 五、设(X,Y)为G:x2?y2?4上的均匀分布，求

1.关于X与Y的边缘分布密度；2. 判断X与Y是否独立。

六、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密

?5e?5y, y?0,度是fY(y)??

?0, y?0 1.求X与Y的联合分布密度；2.求P{Y?X}.

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练习3.5 两个随机变量的函数的分布

一、填空

1.设X与Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则

Z?max{X,Y}的分布函数是 ，W?min{X,Y}的分布函数是 。

2.设随机变量X与Y是相互独立，且X~N(a1,?1)，Y~N(a2,?2)，则Z?X?Y仍具有正态分布，且有Z~ 。

3.已知随机变量X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y是相互独立的，Z?X?2Y?7，则Z~ 。

二、设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为 22X Pk 1 0.3 3 0.7 Y 2 0.6 4 0.4 Pk 求X?Y的分布律。

三、两个相互独立的均匀分布的随机变量X与Y的分布密度分别为：

?1, 0?x?1,?1, 0?y?1, fX(x)??fY(y)??0, 其它 0, 其它 ??求Z?X?Y的概率密度。

四、设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布，证明

Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.

五、设随机变量(X,Y)的分布密度为f(x,y)??的分布函数和分布密度。

?3x, 0

0, 其它 ?分布函数。

七、设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，证明：

P{a?min{X,Y}?b}?[P{X?a}]2?[P{Y?b}]2

八、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。

2

三、E(X)?m?1,D(X)?m?1.

四、a?6,E(X)?1111115 ,D(X)?,P{|X?|?2?}?22022520?ze?z,z?0五、fZ(z)?? 六、提示：利用切比雪夫不等式。

?0,其它七、先证：a?E(X)?b

bb因为 E(X)?xf(x)dx?bf(x)dx?b

aabb??E(X)??xf(x)dx??af(x)dx?a

aa所以 a?E(X)?b

?b?a?现证：D(X)???

?2?因为 D(X)?E(X2)?E2(X)?E[(X?c)2]?2cE(X)?c2?E2(X) =E[(X?c)]?(E(X)?C)(?c?R) 所以 D(X)?=E[(X?不妨设 c?则

2222 ]c)a+b 2??a?b2a?b2D(X)?E[(X?)]??(x?)f(x)dx22??a?b2a?b2(b?a)2 ??(x?)f(x)dx??(b?)f(x)dx?224aa练习6.1

一、1. 相互独立，与总体X同分布；

bb1n1n1n1n22. ?Xi,?xi,(Xi?X),(xi?x)2 ??ni?1ni?1n?1i?1n?1i?1二、x=100, s?42.5; 三、

2??11,2.

四、p,

p(1?p),p(1?p). 五、n?25. n练习 6.2

一、1.是；2. 是；3. 是；4. 不是；5. 不是；6.是。 二、0.0228．三、0.1． 四、0.1336。五、0.6744．

六、18.307，8.547，1.8331，2.42，3.14，0.4，0.1143。 七、0.5．

练习 7.1-7.2

1n一、?Xi2。二、?ni?1n?lnxi?1nX1n2X?1. 三、?1?[?lnXi]?1, ,ni?11?X1?Xi四、

117?13. . 六、,2(n?1)412练习 7.3

一、1.(x?Z?/2?n,x?Z?/2?n); 2. (x?t?/2(n?1)ss,x?t?/2(n?1)) nn(n?1)s2(n?1)s23.(2,2) ??/2(n?1)?1??/2(n?1)二、1.（2.121，2.129）；2.（2.1175，2.1325）

224Z?/2?三、（7.4，21.1）。四、（2.689，2.720）。 五、n? 2L

自测题（第七章）

n?,??),1??; 2. 一、1. (?124. t?/2(n?1) 二、n最小为62.

?i?1?xexi!i???e?n??x!i?1in?xi,x?4,s2?4;3.

11,; XX?)??,??是无偏估计量； 三、1. 2X?1; 2. E(?五、1.

X; 2.X?1n?lnXi?1n; 3. min{Xi}

1?i?ni?1?e?2(x??),x???1?e?2n(x??),x??六、1. F(x)??; 2. F??(x)??; 3.不具有无偏性。

0,x??0,x????

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