概率论习题及典型题解

概率论与数理统计

习题及典型题解 第一章 选择题

★1.事件A,B恰有一个事件发生的事件是( )? (A)AB; (B)AB; (C)ABAB; (D)AB.

★2.事件A,B,C中恰好有一个事件发生的事件是( )? (A)ABCABCABC; (B)ABC;

(C)ABCABCABC;

(D)ABC. A

★3.事件E?{事件A,B,C至少有一个发生}?则E的表示不正确的是( )? (A)ABC; (B)??ABC; (C)A?(B?A)?(C?(A?B)); (D)??ABACBC. D

(和A?B即并AB,当A,B互斥(AB??)时,AB常记为A?B.) ★4.事件A,B,C中恰好有两个事件发生的事件是( )?

(A)ABCABCABCABC;

(B)ABACBC; (C)ABCABCABC;

(D)ABC. 答案C

★5.事件E?{事件A,B,C至少有两个发生},则E的表示不正确的是( )?

(A)ABC?ABC?ABC?ABC; (B)ABACBC; (C)ABC?ABC?ABC;

(D)??ABBCAC.

C

★6.设A,B为两事件?P(A)?13,P(A|B)?23,P(B|A)?35,则P(B)?( )?

(A)1; (B)2; (C)3; (D)45555.

答案A

★7.设P(A)?0.5,P(B|A)?0.8,则P(AB)?( )? (A)0.5; (B)0.6; (C)0.8; (D)0.4.D

★8.设P(A)?0.4,P(AB)?0.3,则P(B|A)?( )? (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.A

9.已知事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则P(A∪B)= ( ). (A) 0.5? (B) 0.6? (C) 0.3? (D) ? 0.2. 10.已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5, 则P(AB)=( ). (A) 0.1? (B) 0.9? (C) 0.3? (D) ? 0.2. 11.已知P(A∪B)=0.7, P(B)=0.3, P(AB)=0.2, 则P(A)=( ). (A) 0.2 ? (B) 0.6 ? (C) 0.4 ? (D) 0.5 ?

☆12.某办公室10名员工编号从1到10?任选3人其最大编号为5的概率为( )(A)112; (B)120; (C)15; (D)14.

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? 概率论与数理统计

答案B

★13.一批产品共50件?其中有5件次品?任取2件?无次品的概率为( )?

1999198. ; (A); (B); (C)(D)24510102452C45198D 2? C5024514.从1～9九个数字中?任取3个排成一个三位数?则所得三位数为偶数的概率是( )? (A)

49 ? (B)

59 ? (C)

13 ? (D)

19?

15.已知P(A)?0.5,P(B)?0.8,P(AB)?0.4,则P(A|B)?( )? (A) 0.4? (B) 0.5? (C)0.8? (D) 0.6?

16.设P(A)?0?5? P(B)?0?6? P(B|A)?0?8? 则P(AB)? ( ). (A) 0.5 ? (B) 0.6 ? (C) 0.8 ? (D) 0.4?

17.设P(A)?0?5? P(B)?0?6? P(B|A)?0?8? 则P(A∪B)? ( ). (A) 0.5 ? (B) 0.6 ? (C) 0.7 ? (D) 0.8?

18.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.5, P(B)=0.4, 则P(AB)= ( ).

(A) 0.5 ? (B) 0.4 ? (C) 0.2 ? (D) 0.1?

19.已知事件A与B相互独立，P(B) =0.5, P(AB) =0.1, 则P(A)= ( ).

(A) 0.5 ? (B) 0.4 ? (C) 0.2 ? (D) 0.1?

★20.设P(A)?1,P(B)?1,且A,B独立,则P(A?B)?( )?

32(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3; (D)5/6. C

21.对于任意两个事件A? B ? 有P(A?B)?( )?

(A) P(A)?P(B)? (B) P(A)?P(B)?P(AB)? (C) P(A)?P(AB) (D)P(A)?P(B)-P(AB) 22.已知P(A)=0.6，P(AB)=0.4，则P(A?B)=（ ）。

(A) 0.4 ? (B) 0.2 ? (C) 0.24 ? (D) 0.6 ?

☆23.设事件A,B独立,P(A)?0.8,P(B)?0.5,则P(AB)?( )? (A)0.2; (B)0.5; (C)0.6; (D)0.4. C ★24.设A,B,C两两独立?P(A)?0.2,P(B)?0.4,P(C)?0.6,P(ABC)?0.96,则

P(ABC)?( )? (A)0.24, (B)1, (C)0.8, C

★25.事件A,B独立的等价条件以下不正确的是( )? (A)P(A|B)?P(A); (B)P(B|A)?P(B|A); (C)P(B|A)?P(B|A)?1; (D)P(B|A)?P(B|A)?1. 答案D

填空题

1.事件A,B,C中至少有一个事件发生的事件是 . 2.事件A,B,C都不发生的事件是 .

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(D)0.52.

概率论与数理统计

3.事件A,B都发生而C不发生的事件是 .

答案ABC或AB?C或AB?ABC

4.已知P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(AB)=0.4,则P(A∪B)= .

5.已知事件A与B互不相容，P(A)=0.3, P(B)=0.4, 则P(A∪B)= . 6.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∪B)=0.6, 则P(AB)= . 7.设事件A,B独立,则恰有一个发生的概率是 .

答案P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)?P(A)?P(B)?2P(A)P(B) 8.设事件A,B,C独立,则恰有两个发生的概率是 . 答案P(ABC?ABC?ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?3P(ABC)

?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?3P(A)P(B)P(C) 9.事件A,B,C至少有两个发生的概率是 . 答案P(ABACBC)?P(ABC?ABC?ABC?ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)

10.事件A,B,C恰有一个发生的概率是 .

答案P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABACBC)

?P(A)?P(B)?P(B)?2[P(AB)?P(AC)?P(BC)]?3P(ABC)

11.盒子内有标号0到9十个球，随机从中任取三个球，则取到的三个球的号码含有9的概率为 . 3/10

12.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .

将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概

9??9?率为????0.6561,因此牌号含有数字8的概率即答案为1????0.3439

?10??10?44★13.产品中有10件次品? 90件正品?抽取5件至少有一件次品的概率为 .

5C90答案1?5?1?0.58375?0.41625

C100○14.设N件产品中有D件是不合格品，从这N件产品中任取2件产品，则2件都是不合格品的概率为 .

2CD答案2

CN15.某批产品共30件,其中有4件次品,从中任取3件无次品的概率为 .

3C26130答案3??0.6404

C3020316.产品经两道独立工序?各工序次品率均为0.2?则产品是正品概率为 .

16答案(1?0.2)2?

25★17.产品经三道独立工序?每道工序次品率均为0.2?则产品是次品的概率为 .

611?(1?0.2)3?

125★18.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只?恰有2只红球的概率为 .

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概率论与数理统计

21C4C318答案 ?335C7☆19.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只?恰有1只红球的概率为 .

12C4C12答案33?

C73520.设M件产品中含m件次品?从中任取两件至少有一件次品的概率为 .

1122CmCM?m?CmCMm(2M?m?1)?m答案1?2或 ?2M(M?1)CMCM21.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .

212C4(C2)6?226答案?? 2287C822.从5双不同的鞋子中任取4只，至少有两只配成一双的概率为 .

1212C5C4(C2)?C52120?1013答案?? 4C102102123.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .

13121三张牌花色均相同数目C4C13，三张牌有两种花色数目C4C13C39,因此所求概率为

13121C4C13?C4C13C3913312??0.6024. 3C5222100或 先计算三张牌花色均不相同的概率，无妨设第一张牌为红桃，则花色花色均不相同

39263926,因此所求概率为1??0.6024. 概率为

5150515024.从一副52张的扑克牌中任取2张花色相同的概率为 .

12124C4C4答案313?.或设第一张为红桃A,另一张为红桃的概率为?.

5117C5217★25.袋中有a只红球?b只黑球?有放回摸球?则P{第k次摸球首次摸到红球}? . aabk?1?b? ???k?a?b?a?b(a?b)26.在贝努利试验中每次试验成功的概率为p,试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案pk?P(X?k)?(1?p)k?1p?pk?1(1?p),k?2,3???. ○27.在贝努利试验中,P(A)?p,则在出现3次A以前出现3次A的概率为 .

(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A,或者至少出现3次A)

33244P{贝努利试验5次试验中至少出现3次A}?C5pq?C5pq?p5. 或P{出现3次A以前出现3次A}??P{共试验k次,出现3次A以前出现3次A.}

k?35k?1??P{前k?1次贝努利试验出现2次A,且第k次试验出现A}

k?351222213232?p2?p?C3pq?p?C4pq?p?p3?C3pq?C4pq. 两结果相等.若试验未达5次,假设继续试验至5次为止,则

1323213232p3(p?q)2?C3pq(p?q)?C4pq?p3(p?q)2?C3pq(p?q)?C4pq

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概率论与数理统计

012112533244?(C2?C3?C4)p3q2?(C2?C3)p4q?C2p?C5pq?C5pq?p5. 28.已知P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(AB)=0.3, 则P(A︱B)= . 29.已知P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(B︱A)=0.5，则P(AB)= .

30.有编号1，2，…，50的五十张考签，学生从中抽取一张进行考试，抽后不再放回，已知甲生已抽到前十号考签中的一个，则乙生抽得前十号考签的概率为 ． 31.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(AB)= . ★32.设P(A)?0.5,P(A?B)?0.2,则P(AB)? .0.7

33.设事件A? B相互独立? P(A)?0?4? P(B) ?0?6? 则P(A∪B )? . 0.76

34.甲,乙独立地向目标射击?中靶率依次为0?8?0?7,则都中靶的概率为 . 35.设事件A与B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.4，则 P(A?B)= ． 36.设A，B为两个事件，P(A)=0.5，P(A－B)=0.2，则 P(AB)= ．

★37.已知P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?1,则A,B,C全不发生

46的概率为 .7

12@38.将n只相同的球,随机放入k只不同的合子,共有多少种不同放法 .

k只不同合子有k?1只壁,将n只相同的球分成k组,每组球数可为0.k?1个壁和n个球

k?1n排成一排有Cn?k?1?Cn?k?1种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法. 计算题

1.有10张卡片? 分别编号从1到10?任意选3张记录其号码?求 (1)最小号码为5的概率? (2)最大号码为5的概率?

2C5210C4161(1) 3??,(2) 3??.

C1012012C10120202.从数字0,1,...,9中任选三个不同的数字?计算下列事件概率: A1?{不含3和7};A2?{含3或7};A3?{含3但不含7}?

3C88?7?6/3!7P(A1)?3??;

C1010?9?8/3!1578P(A2)?1?P(A1)?1??;

151512C1C88?7/2!7P(A3)???. 310?9?8/3!30C10又法.记B?{含3};C?{含7}?

1C8381P(B)?P(C)?;P(BC)?3??;

10C1010?9?8/3!15P(A1)?1?P(A2)?1?P(B?C)

3317?1?P(B)?P(C)?P(BC)?1????;

1010151578P(A2)?1?P(A1)?1??;

15153318???; 或 P(A2)?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(BC)?10101515 第5页 共32页

概率论与数理统计

87?; 1515★3.某市发行A,B,C三种期刊?在居民中订A期刊比例有45%?订B期刊有35%?订C期刊有30%?同时订A,B两期刊有10%?订A,C两期刊有8%?订B,C两期刊有5%?同时订三种期刊有3%?表示下列事件并计算其比例:(1){只订A期刊}?(2){只订A,B两期刊}?(3){只订一种期刊}?(4){正好订两种期刊}?(5){至少订一种期刊}?(6){不订任何期刊}? 记事件A?{订A期刊}?B?{订B期刊}?C?{订C期刊}? (1)ABC?{只订A期刊}?

P(ABC)?P(A(??BC))?P(A)?P(A(BC))

?P(A)?P(ABAC)?P(A)?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?0.45?0.1?0.08?0.03?0.3.

或 |ABC|?|A|?|ABAC|?|A|?|AB|?|AC|?|ABC|

P(A1)?1?P(A2)?1?(2)ABC?{只订A,B两期刊}?

P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?0.1?0.03?0.07.

(3)ABC?BAC?CAB?{只订一种期刊}? (4)ABC?ABC?ABC?{正好订两期刊}? (5)ABC?{至少订一种期刊}?

P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AB)?P(BC)?P(ABC) ?0.45?0.35?0.30?0.1?0.08?0.05?0.03?0.9.

或 |ABC|?|A|?|B|?|C|?|AB|?|AC|?|BC|?|ABC|

(6)ABC?{不订任何期刊}?

★4.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件?求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.

312C26C26C413039答案(1)3??0.6404. (2)3??0.0384.

C30203C301015☆5.设甲袋中有M只红球,N只黑球;乙袋中有m只红球,n只黑球.先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入甲袋.计算:(1)甲袋中黑球数减少的概率?(2)乙袋中黑球数不变的概率?

☆6.设甲袋中有M只红球,N只黑球;乙袋中有m只红球,n只黑球.先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入甲袋.计算:

(1)甲袋中红球数增加的概率?(2)甲袋中红球数不变的概率?

记事件A?{甲袋中取出红球}?B?{乙袋中取出红球}.

(1)AB?{甲袋中红球数增加}?{甲袋取出黑球?乙袋取出红球}.

NmNmP(AB)?P(A)P(B|A)???.

M?Nm?n?1(M?N)(m?n?1) (2)AB?{甲袋?乙袋均取出红球}?AB?{甲袋?乙袋均取出黑球}.

Mm?1M(m?1)P(AB)?P(A)P(B|A)???,

M?Nm?n?1(M?N)(m?n?1)Nn?1N(n?1)P(AB)?P(A)P(B|A)???.

M?Nm?n?1(M?N)(m?n?1)因此甲袋中红球数不变的概率为

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M(m?1)?N(n?1).

(M?N)(m?n?1)★7.车间第1,第2台车床加工的零件放在一起,产量比例为2:1次品率依次为0.03,0.02.计算:(1)任取一只零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,是第2台车床加工的概率.

记事件B={取得次品},样本空间的划分Ai={零件由第i台车床加工}?i?1,2.

P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?(1)全概率公式得

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) 212??0.03??0.02??0.0267. 1?21?275(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为

P(A2B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??

P(B)P(B)1?0.0211?2??.

214?0.03??0.021?21?2又法.静态样本统计模型,古典概型?依据频率渐近稳定于概率,设总产量n?150件;第1,第2车床产量|Ai|?nf(Ai),i?1,2,依次为100,50件;

次品数|AB|?|Ai|f(B|Ai),i?1,2,依次为100?0.03?3;50?0.02?1件? i(1)条件(局限)空间B总数,总次品数

|B|??i|AiB|??i|Ai|f(B|Ai)?3?1?4件?总次品率为

P(B)?

|B|42???0.0267. n15075(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为

|AB|11 P(A2|B)?2??. |B|3?148.某工厂甲、乙两个车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0.03和0.02，生产的产品放在一起，且甲车间的产量比乙车间的产量多一倍．求该厂产品的合格率. 9.学生在做一道有4个选项的单项选择题时?如果不知道问题的正确答案时?就作随机猜测?现从卷面上看题是答对了?试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是0.5；(2)知道正确答案的概率是0.2． 设事件A?{知道正确答案}?B?{题目答对}?则

P(A)P(B|A)0.5?1??0.8； (1)P(A|B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.5?1?0.5?0.25P(A)P(B|A)0.2?1??0.5． (2)P(A|B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.2?1?0.8?0.2510.已知袋中有10只白球3只黑球? 在其中取二次? 每次随机地取一只? 取后不放回? 求第二次取出的是黑球(记为事件B)的概率?

11.将信息编码为A和B传送?由于信号干扰?接收站收到信息时?A被误收作B的概率为0.02?B被误收作A的概率为0.01?编码A与B传送频繁程度为2:1?计算: (1)接收站收到信息A的概率?(2)在收到信息A的条件下发出信息B的概率? 记事件B={收到信息A}?A1={发出信息A}?A2={发出信息B}.

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(1) P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)

2121??(1?0.02)??0.01??0.98??0.01?0.6567; 1?21?2331?0.01P(A2B)P(A2)P(B|A2)3(2) P(A2|B)????0.00508.

P(B)P(B)0.6567★12.将信息编码为A?B传送?由于信号干扰?接收站收到信息时?A被误收作B的概率为0.2?B被误收作A的概率为0.1?发出编码A?B的概率依次为0.6,0.4?计算: (1)接收站收到信息A的概率?(2)在收到信息A的条件下发出信息B的概率? 记事件B={收到信息A}?A1={发出信息A}?A2={发出信息B}. (1) P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)

?0.6?(1?0.2)?0.4?0.1?0.52;

P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.4?0.14???0.07692. (2) P(A2|B)??0.5252P(B)P(B)★13.某公司第1,2,3车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率.

记事件B={任取的一件产品是次品},Ai={产品由第i车间生产},i?1,2,3.

(1)全概率公式得

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(A3)P(B|A3) ?60%?3%?30%?4%?10%?6%?3.6%. (2)由贝叶斯公式得

P(A2B)P(A2)P(B|A2)30%?4%1??. P(A2|B)??3.6%3P(B)P(B)☆又法.静态样本统计模型,古典概型．依据是频率渐近稳定于概率．设总产量n?1000件;

00;次品数|AB第i车间产量|Ai|?nf(Ai)依次为600,300,1件|?|Ai|f(B|Ai)依次为i600?3%?18,30?04?,?100?6%件?

(1)条件(局限)空间B总数,总次品数|B|??i|AiB|??i|Ai|f(B|Ai)?18?12?6?36件

?总次品率为P(B)?|B|36??3.6%. n1000|A2B|121??. |B|36314.市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算： (1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率; (2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.

B={任购一商品是合格品},A1={商品是甲厂生产},A2={商品是乙厂生产},A3={商品是丙

(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率为P(A2|B)?厂生产}.

(1)全概率公式得

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(A3)P(B|A3) ?0.5?0.88?0.3?0.7?0.2?0.75?0.80. (2)由贝叶斯公式得

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P(A2)P(B|A2)0.3?(1?0.7)9===0.45.

1?0.8201?P(B)P(B)15.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.

记事件B={任取的一件产品是次品},Ai={产品由第i厂生产},i?1,2,3. 甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为P(AB,2,3.各厂次品贡i)?P(Ai)P(B|Ai),i?1238?8%:?4%:?3% 献概率之比为P(A1B):P(A2B):P(A3B)?2?3?82?3?82?3?8?2?8:3?4:8?3?16:12:24?4:3:6.

66?. 因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为P(A3|B)?4?3?613在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.

☆.全概率公式模型.设第i类球有ni个,其中有ai只红球,总数n??ini,红球总数

P(A2|B)?P(A2B)=

a??iai,任取一球为红球的概率.记事件B?{取到红球},Ai?{取到第i类球},i?1,2,.

第i类球占总数比例wi?nia,其红球比例fi?i. nniP(B)??iP(Ai)P(B|Ai)(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)

??iwifi(各类球红球比例fi以其球数比例wi加权平均)

aaniai??ii?.

nnnni☆.全概率公式模型.第i省份人口li有劳动力ai人,计算劳动力人口比例f.

la总人口l??ili,总劳动力a??iai,第i省人口比重wi?i,其劳动力比例fi?i.

lliaaf???ii(各省贡献率之和)

llla??iii??iwifi(各省劳动力人口比例fi以其人口比重wi加权平均)

lli??i??iP(Ai)P(B|Ai)(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)

?P(B).以上步骤可倒.

☆.全概率公式与贝叶斯公式模型.设第i类盒子ni个,每盒都有li只球,其中ai只红球,盒

子总数n??ini,任取一盒子,再从盒子中任取一只球.计算:

(1)取到红球的概率;

(2)在红球出现的条件下,取到第i,(i?1,2,.)类盒子的概率.

记事件B?{取到红球},Ai?{取到第i类盒子},i?1,2,.(参下题)

na(1)全概率公式为P(B)??iP(AiB)??iP(Ai)P(B|Ai)??iii.

nliniaiP(AiB)P(Ai)P(B|Ai)nli??,i?1,2,(2)贝叶斯公式为P(Ai|B)?niaiP(B)P(B)?inli 第9页 共32页

.

概率论与数理统计

☆.设有三类盒子共5个,第一类盒子有2个,每个盒子中有2只红球,1只黑球;第二类盒子有2个,每个盒子中有3只红球,1只黑球;第三类盒子有1个,其中有10只黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一只球.计算: (1)取到红球的概率;

(2)在红球出现的条件下,取到第i,(i?1,2,3)类盒子的概率. 记事件B?{取到红球},Ai?{取到第i类盒子},i?1,2,3. (1)全概率公式为

22238?91733?. P(B)??i?1P(AiB)??i?1P(Ai)P(B|Ai)?????53543030(2)贝叶斯公式为

22?P(A1B)P(A1)P(B|A1)5388P(A1|B)?????;

17P(B)P(B)8?9173023?P(A2B)P(A2)P(B|A2)5499P(A2|B)?????;

17P(B)P(B)8?917301?0P(A3B)P(A3)P(B|A3)50P(A3|B)?????0.

17P(B)P(B)8?930☆16.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案P{红球比白球早出现}?4/7. 第二章

☆.定理 设连续型变量X密度为fX(x),y?g(x)严格单调,反函数x?x(y)导数连续,则

Y?g(X)是连续型变量,密度为

?f(x(y))|x?(y)|,??g(x)极小值?y???g(x)极大值, fY(y)??X0,其它.?证明 1)若x??x?(y)?0,{Y?y}?{g(X)?g(x)}?{X?x},

FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?g(x))?P(X?x)?FX(x), 两边对y求导, fY(y)?fX(x(y))x?(y),??y??.

2)若x??x?(y)?0,{Y?y}?{g(X)?g(x)}?{X?x},

FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?g(x))?P(X?x)?1?FX(x), 两边对y求导, fY(y)??fX(x(y))x?(y),??y??. 因此总有fY(y)?fX(x(y))|x?(y)|,??y??. 选择题

1.设X的分布律为

0 1 2 3 X a P 0.20.30.2则a为（ ）．

(A) 0.2? (B) 0.3? (C) 0.4? (D) 0.1?

第10页 共32页

概率论与数理统计

k15,k?1,2,3,4,5，则P(?X?)?( ). 15221234(A) (B) (C) (D)

55515A

3.某厂生产电子元件,其产品的次品率为p,现从一大批这类产品中任意地连续取出3件，次品数为X，则P(X?2)的值是( ).

2.设随机变量X的分布列为P(X?k)?(A) (1?p)3?3(1?p)2p?3(1?p)p2，(B)1?(1?p)3，(C)3(1?p)p2，(D) 1?p3 D

?cx20?x?14.设随机变量X的密度函数为f(x)??，则c=( ).

其他?0 (A) 1 ? (B) 3 ? (C) 1/2 ? (D) 1/3?

?cx2?1,0?x?1,5.设变量X的密度f(x)??则c=( )?

0,其他,?(A)0;

A

(B)3;

(C)2;

(D)1/3.

0,x?0,?1??2?6.已知变量X的分布F(x)??x,0?x?1, 则P??1?X??=( )?

2??x?1.??1,(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4.

7.设变量X的密度为f(x),且f(x)?f(?x),分布为F(x),则对任意实数a,有( )?

aa1(A)F(?a)?1??f(x)dx; (B)F(?a)???f(x)dx; 020(C)F(?a)?F(a); (D)F(?a)?2F(a)?1. B

8.设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y?min{X,2}的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B

9.?(x)是标准正态分布函数,则P(?a?X?a)?( )? (A)?(a)?1/2; (B)2?(a)?1; (C)?(a); (D)1??(a). B

1(x?3)2★10.设变量X密度f(x)?exp{?},x?R,则下列变量( )~N(0,1).

42?X?3X?3X?3(D)X?3. ; ; ; (A)(B)(C)

2222B

11.设随机变量X~N(2,4)?则下列变量( )~N(0,1)?

X?2XXX?2; ; (A)(B)(C); (D). 2242答案B

★11.设X服从正态分布N(?,?2),则随着?的增大,概率P(X???2?)( )? (A)单调增加;

(B)单调减小;

(C)保持不变;

(D)增减不定.

第11页 共32页

概率论与数理统计

C

○12.A地到B地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)X~N(50,100);第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间Y~N(60,16)?(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( )? (A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路;

(C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路; (D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路.

?70?50?(1)走第一条路线能及时赶到的概率P(X?70)??????(2)?0.9772,走第二条

?10??70?60?路线能及时赶到的概率P(Y?70)??????(2.5)?0.9938,在这种场合应走第二

4???65?50?条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率P(X?65)??????(1.5)?0.9332,而

10???65?60?走第二条路线能及时赶到的概率P(Y?65)??????(1.25)?0.8944,此时以走第

?4?一条路更为保险.D 填空题

13511.已知随机变量X只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次为,,,,则

2c4c8c8cc? .

★2.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 1/2 1/3 1/6 P 则X的分布函数为 . ?F(1?0)?0,x?1,?F(1)?F(2?0)?P(X?1)?1/2,1?x?2,?答案F(x)??

?F(2)?F(3?0)?P(X?1)?P(X?2)?5/6,2?x?3,??F(3)?1,x?3.★3.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.2 0.5 则X的分布函数为 . ?0,x?0,?F(0)?P(X?0)?0.3,0?x?1,?答案F(x)??

?F(1)?P(X?0)?P(X?1)?0.5,1?x?2,??F(2)?1,x?2.4.设X的分布列为 X -2 -1 0 1 3 P 15 6511115 1130 则Y?X2的分布列为 . ★5.设随机变量X的分布列为

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概率论与数理统计

X -2 -1 0 1 P 1/2 1/4 1/6 1/12

则Y?X2?X的分布列为 . 答案P(Y?0)?5/12,P(Y?2)?7/12

C?k??6.设随机变量X的概率分布为P(X?k)?e(k?1,2,...),且??0，则C? . k!???1(1?e)

7.设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为p,若以X表示射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则X的分布律为 . P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,.

x??A?Be?2,x?0,8.设连续型变量X的分布F(x)??则A? ,B? .

x?0.??0,x2??F(x)?lim(A?Be2)?A?B,??0?limx?0?0由分布性质得?x?0答案A?1,B??1 x2?1?F(??)?lim(A?Be?2)?A,?x????2?kx?1,0?x?2,9.已知连续型随机变量X密度函数f(x)=? 则k=

其它.?0,?cx50?x?110.设随机变量X的密度函数为f(x)??，则c= .

其他?0?k2?x?6?11.设随机变量X的密度函数为f(x)=?4，则k= .

?其他?0?2x,0?x?1,12.已知随机变量X密度函数f(x)=? 则X分布函数F(x)= .

其它.0,??1??x?1,0?x?2,13.已知变量X密度f(x)=?2则X的分布函数F(x)= .

??0,其它.?0,x?0,?1?答案F(x)???x2?x,0?x?2,

?4??1,x?2.?1?e?x,x?0,★14.已知变量X的分布函数为F(x)??则P(1?X?3)? .

?0,其他.答案e?1?e?3

0,x?0,?1??3?115.已知随机变量X的分布函数F(x)??x,0?x?1,则P??X??= . 2??4x?1.??1,a16.一批产品的寿命X(小时)具有概率密度f(x)?2,x?600.若随机独立抽取3件产品,

x 第13页 共32页

概率论与数理统计

则恰有两件寿命大于1200小时的概率为 . 答案3/8,(a?600)

a17.一批产品的寿命X(小时)具有概率密度f(x)?2,x?600.若随机独立抽取3件产品,

x则恰有两件寿命大于800小时的概率为 . 答案27/64,(a?600)

○18.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 . 答案1?e?2/5;F(x)??1?e??x/5,0?x?2,

1,x?2.?19.若X~N(0,1)，Φ(x)是标准正态分布函数，Φ(1)=0.8413，则P??1?X?1?= . ○20.设随机变量X~N(1,22)?则概率P(2?X?3.5)? . (?(0.5)?0.691,?(1)?0.841,?(1.25)?0.894,?(1.96)?0.975)答案0.203

?2?1X?13.5?1?P(2?X?3.5)?P??????(1.25)??(0.5)?0.894?0.691?0.20362．

22??2X?3~ . 21.设随机变量X~N(3,16),则随机变量Y?4计算题

1.设X的分布律如下 X 1 2 3 4 P 0.3 0.1 0.2 k 求? (1)常数k； (2)P(X?3),P(X?3)。 2.已知随机变量X只能取?1,0,1,2四个数，相应的概率分别为 1357,,,，确定常数c，并求概率P{0?X?1}. 2c4c8c16c3.设离散型随机变量X的概率分布律为 X ?1 0 1 P 0.5 1?3q q 试求? (1) q值? (2) P(?1?X?1),P(?1?X?1)。 4.设离散型随机变量X的概率分布律为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 求? (1)P(X?3),P(X?2), (2)P(?4|X?2) 5.设离散型随机变量X的概率分布律为 X 0 2 3 4 P 0.3 0.2 0.3 0.2 求? (1)P(X?3),P(X?2), (2)P(?4|X?2) 6.已知在3重贝努里试验中，事件A发生次数X的概率分布律为

3k1kP(X?k)?C3()?()3?k,k?0,1,2,3。

44求（1）事件A至少出现1次的概率；（2）事件A至多出现1次的概率。?

7.袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的

第14页 共32页

概率论与数理统计

概率分布律，并求不少于2个红球的概率.

8.在编号为1至5的球中任选3只,求最大号码X的分布列.

2C323C4113P{X?3}?3?,P{X?4}?3?,P{X?5}?3?.

C510C510C55Ck2?1(k?1)(k?2)通式P(X?k)?3?,k?3,4,5.

20C53Ck3?CkCk2?1(k?1)(k?2)?1或P(X?k)?P(X?k)?P(X?k?1)??3?,k?3,4,5. 320C5C59.设有10件产品，其中有两件次品，今从中连取三次，每次任取一件不放回，以X表示所取得的次品数，试求：（1）X的分布律；（2）Y?2X2?2的分布列。

X的分布律为 X 0 1 2 P 7/15 7/15 1/15 由X的分布律直接可得Y的分布律为 Y 2 4 10 P 7/15 7/15 1/15 0???110.设随机变量X具有分布函数 F(x)??(x?2)3?81??P(1?X?3)；（3）P(3?X)

?Ax(1?x2)11.设随机变量X具有密度f(x)??0?11(3)求X的取值落在区间[ , ]内的概率.

32x?22?x?4?求（1）X 的概率密度；（2）x?40?x?1?(1)求常数A；(2)求X的分布函数；其他?2x?0?x????ke12.设随机变量X的密度函数为f(x)??，求：（1）常数k；（2）概

其他??0率P{5

?1?e?3x,x?0,13.设随机变量X的分布函数为F(x)=? 求P{X?1}及P{?1?X?1},并

x?0.?0,求X的密度函数.

?Cx(1?x),0?x?1,计算:(1)常数C;(2)X的分布函数?

?0,其它.11CC231(1) 1??f(x)dx??Cx(1?x)dx??3x?2x?0?, 0066因此,C?6. ★14.设变量X密度f(x)??(2) F(x)??f(x)dx??6x(1?x)dx?3x2?2x3,

00xx

?0,?0,?因此,变量X的分布函数为F(x)??3x2?2x3,0?x?1,

?1,x?1.?

第15页 共32页

概率论与数理统计

15.设X~N(?,?2),求P(|X??|??),及P(|X??|?3?).

?X??x????x???由P(X?x)?P???????得

???????P(X????)??(1),P(X????)??(?1)?1??(1),

P(|X??|??)?P(????X????)?P(X????)?P(X????) ??(1)?(1??(1))?2?(1)?1?2?0.84134?1?0.6827, P(|X??|?3?)?2?(3)?1?2?0.99865?1?0.9973.

2★16.设随机变量X服从正态分布.(1)如果X~N(3,2计算P(2?X?5);(2)如果),计算P(|X??|?3?). X~N(?,?2),?5?3??2?3?(1) P(2?X?5)????? ?????(1)??(0.5)?1

22?????0.8413?0.6915?1?0.5328.

?X???(2) P(|X??|?3?)?P??3?

????2?(3)?1?2?0.99865?1?0.9973.

17.恒温箱系由温度调节器根据箱内温度的变化而调整?如果将温度调节器定在?C,箱内温度T~N(?,?2).

(1)若??94C,??1,求箱内温度在93至95C的概率?

(2)若??0.5,要让温度不低于95C的概率为0.95,应将调节器设定为多少度? (1) 所求概率为

?95?94??95?94?P(93?T?95)????? ???

22?????2?(0.5)?1?2?0.6915?1?0.3880. (2) 由题意

?95???P(T?95)?1??? ??0.95,

?0.5?95???95??????1(0.05)????1(0.95)??1.645, ???0.05, ?0.5?0.5???95?1.645?0.5,??95.8225. 因此取??96C.

?(??1)(1?x)?,??0,0?x?1,18.设随机变量X的密度为f(x)??计算:随机变量Y?X?1?0,其他.的密度?

当y?1时,Y?X?1的分布FY(y)?0,当y?1时,

FY(y)?P(X?1?y)?P(X?y?1)?1?FX(y?1), 两边对y求导,得Y的密度为

fY(y)?fX(y?1)(y?1)?

11?(??1)(1?)?2?(??1)y???2(y?1)?,y?1.

yy

第16页 共32页

概率论与数理统计

又法 反函数X?1,x(y)?1,|x?(y)|?12,由变量函数密度公式得

Yyy

fY(y)?fX(x(y))|x?(y)|

11?(??1)(1?)?2?(??1)y???2(y?1)?,y?1.

yy?2(1?x),0?x?1,19.设随机变量X的密度为f(x)??计算:随机变量Y?X?1的密度?

?0,其他.当y?1时,Y?X?1的分布FY(y)?0,当y?1时,

FY(y)?P(X?1?y)?P(X?y?1)?1?FX(y?1), 两边对y求导,得Y的密度为

fY(y)?fX(y?1)(y?1)?

11?2(1?)2?2y?3(y?1),y?1.

yy又法 反函数X?1,x(y)?1,|x?(y)|?12,由变量函数密度公式得

YyyfY(y)?fX(x(y))|x?(y)|

11?2(1?)2?2y?3(y?1),y?1.

yy

20.设随机变量X~N(0,1)?计算变量Y?eX的密度函数? 当y?0时, Y?eX的分布FY(y)?0,当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny)??(lny), 因而Y的密度为

?1(lny)2exp?,y?0,?2 fY(y)??'(lny)??(lny)(lny)'?1?(lny),fY(y)??2?yy??0,y?0.(lny)211'或 反函数X?lnY,xy?lny,fY(y)??(xy)xy??(lny)?exp?,y?0. 2y2?y????★21.设随机变量X~N(?,?2)?计算:随机变量Y?eX的密度函数? 当y?0时, Y?eX的分布FY(y)?0,当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?FX(lny),

'因而Y的密度为fY(y)?FX(lny)?fX(lny)(lny)'?1fX(lny)

y?1(lny??)2exp?,y?0,?2?2fY(y)??2??y

??0,y?0.又法.反函数X?lnY,xy?lny,x'y?1,

y(lny??)211'exp?,y?0. fY(y)?fX(xy)xy?fX(lny)?2?2y2??yX

????★22.设随机变量X~N(0,1)?计算:随机变量Y?X2的密度?

第17页 共32页

概率论与数理统计

当y?0时,FY(y)?0;当Y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y) ?FX(y)?FX(?y)

两边对y求导得Y的密度函数为

y?1e?2,y?0,?fY(y)??2?y

??0,y?0.又法 反函数支x1(y)?y,x2(y)??y,

由随机变量函数密度公式得

'fY(y)?fX(x1(y))|x1'(y)|?fX(x2(y))|x2(y)|?2fX(x1(y))x1'(y)

yy??21122?e?e,y?0. 2?2y2?y23.设随机变量X~N(0,1)?计算:变量Z?|X|的密度? Z?|X|的分布函数为FZ(z)?P(Z?z)?P(|X|?z),

当z?0时,FZ(z)?0;当z?0时,FZ(z)?P(?z?X?z)??(z)??(?z)?2?(z)?1? 2?2exp?z,z?0,?因而Z的密度函数为fZ(z)??? 2??0,z?0.'或 x1(z)??z,x2(z)?z,fZ(z)?fX(x1(z))|x1'(z)|?fX(x2(z))|x2(z)|???2exp?z2,z?0.

2???2xx?exp?,x?0,?24.设随机变量X密度fX(x)???2计算:变量Y?X2的密度? 2?2??0,x?0.当y?0时, Y?X2的分布FY(y)?0,当y?0时,

2FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(X?y)?FX(y), 因而Y的密度为fY(y)?FX'(y)?fX(y)(y)'?1fX(y) 2y???1y?2exp?2,y?0.fY(y)??2? 2???0,y?0.y?即Y指数分布E??2?2?.

??又法.反函数X?Y,xy?y,x'y?1,

2yfY(y)?fX(xy)x'y?1fX(y)

2y??

yy1exp?y,y?0. ?1exp??22?22?22?22y?★特例:当?2?1时?变量Y?X2的密度?

???? 第18页 共32页

概率论与数理统计

2?,x?0,?25.设随机变量X的密度函数为f(x)???(1?x2)求Y?lnX的密度函数.

?0,x?0.?y反函数X?eY,xy?ey,fY(y)?fX(xy)x'y?fX(ey)ey?2e2y,y?R.

?(1?e)★26.设变量X服从参数为1的指数分布?计算:变量Y?X的密度? 当y?0时,Y?X的分布FY(y)?0,当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(X?y2)?FX(y2), 两边对y求导得

fY(y)?fX(y2)(y2)??2ye?y2, 因而Y的密度为

2ye?y2,y?0, fY(y)?0,y?0.

?或 反函数X?Y2,x(y)?y2,|x?(y)|?2y,由变量函数密度公式得

fY(y)?fX(x(y))|x?(y)|

?2ye?y2,y?0.

第三章 选择题

★1.关于二维随机变量下列叙述不正确的是( )? (A)联合分布决定边缘分布; (B)边缘分布不能决定联合分布; (C)联合分布不同,边缘分布可能相同; (D)边缘分布之积即为联合分布. 答案D

2.设指数分布XE(?1),YE(?2)相互独立,则P(X?x,Y?y)? ( ). A.1?e??1x?e??2y?e?(?1x??2y) B.e?(?1x??2y) C.1?e?(?1x??2y) D.e??1x???2y?e?(?1x??2y) P(X?x)?P(X?x)?e??1x,P(Y?y)?P(Y?y)?e??2y, P(X?x,Y?y)?P(X?x)P(Y?y)?e??1xe??2y?e?(?1x??2y) B

3.设指数分布XE(?1),YE(?2)相互独立,则P(X?x,或Y?y)?( ). A.1?e??1x?e??2y?e?(?1x??2y) B.e?(?1x??2y) C.1?e?(?1x??2y) D.e??1x???2y?e?(?1x??2y) P(X?x,或Y?y)?P(X?x)?P(Y?y)?P(X?x,Y?y)?e??1x???2y?e?(?1x??2y) D

???Csin(x?y),0?x,y?,4.已知二维变量(X,Y)~f(x,y)??4则C的值为( ).答案D

??0,其他.(A)1/2; (B)2/2; (C)2?1; (D)2?1. ?x2?1xy,0?x?1,0?y?2,?35.设二维变量(X,Y)~f(x)??则P(X?Y?1)?( )?

其它,?0,?657111(A); (B); (C); (D). 72721212答案A 第19页 共32页

概率论与数理统计

可先计算P{X?Y?1} 填空题

1111.设X,Y为随机变量P(X?0)?,P(Y?0)?,且P(X?0,Y?0)?,则

236P(max(X,Y)?0)? , P(min(X,Y)?0)? .

事件A?(X?0),B?(Y?0),(max(X,Y)?0)?(X?0,且Y?0)?AB,

(min(X,Y)?0)?(X?0,或Y?0)?AB.用加法（容斥）公式.

2.设变量X,Y独立同0-1分布,P(X?1)?1,则变量Z?min{XY,的}分布列

231是 .P(Z?0)?,P(Z?1)?.

443.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X的分布列为 .

2C323C4113P{X?3}?3?,P{X?4}?3?,P{X?5}?3?.

C510C510C55Ck2?1(k?1)(k?2)通式P(X?k)?3?,k?3,4,5.

20C532Ck3?CkC(k?1)(k?2)?1k?1或P(X?k)?P(X?k)?P(X?k?1)???,k?3,4,5. 3320C5C54.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X的分布函数为 .

x?3,?0,?0.1,3?x?4,? F(x)???0.4,4?x?5,?x?5.?1,★5.设二维变量(X,Y)边缘独立,联合分布阵列如下,则?= ??= .

Y0 1 X 1? 0 31? 1 61111答案??,??,或??,??.

36636.设二维变量(X,Y)边缘独立,联合分布阵列如下,则?= ??= .

Y1 2 3 X 111 1 69181? ? 2 9111112两行成比例?:??:?:?2:1,答案??,???

63918937.用联合分布F(x,y)表示概率P(X?a,Y?b)? .

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概率论与数理统计

因此?的置信度为1???0.95的置信区间为

S? ? Xu?21?1.176,21?1.176?19.824,22.176.?????/2??n??9.已知某种元件寿命X~N(?,?2),任取10只元件试验,测得X?57.5,S2?88.472.计算下列情况下期望寿命?的95%置信区间:(1)已知?2?32?(2)?2未知.(选用的分位数值：u0.025?1.96,u0.05?1.645,t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281) (1)??3,u0.025?1.96,?的95%置信区间为[X??u0.025,X??u0.025]?[55.641,59.359]．

nn(2)t0.025(9)?2.2622,?的95%置信区间为[X?St0.025(9),X?St0.025(9)]?[50.772,64.228]．

nn★10.某种果树产量X(kg)~N(?,?2),从果树林中任取6株,测量产量分别为:

221,191,202,205,256,245.计算期望产量?的置信度1???0.95的置信区间.(1)已知

?2?252;(2)若?2未知. (1)?的置信区间中心

1n1X??Xi?(221?191?202?205?256?245)?220,

ni?16?25?的置信区间半长u?/2?u0.025?1.96?10.21?20.0,

n6当?2?252已知时,?的1???0.95置信区间为

???220?20.0,220?20.0???200.0,240.0?. n?1n2(2) 样本方差S?(Xi?X)2?662.4,S?25.737, ?n?11S25.737?t0.025(5)?2.571?10.507?27.0, 置信区间半长t?/2(n?1)n6当?2未知时,?的1???0.95置信区间为

u?/2??X???

S?? Xt(n?1)??220?27.0,220?27.0?193.0,247.0.?????/2??n??11.某厂用自动包装机包装葡萄糖,每袋净重X~N(?,?2),随机抽取10袋,测得各袋净重

380.(1)已知??5克,求?的置信度为95?的xi（克）,i?1,2,...,10,计算得X?502,S2?9置信区间;(2)?未知时,求?的置信度为95?的置信区间.

(1)已知??5,?的置信区间为[X?u?/2??/n,X?u?/2??/n].

n?10,u0.025?1.96,X?502,代入得?的95?置信区间为[498.910,505.099]. (2)若?未知,?的置信区间为[X?t?/2(n?1)?S/n,X?t?/2(n?1)?S/n].

380n?10,t0.025(9)?2.262,X?502,S2?,代入得?的95?置信区间为[497.352,506.648].

912.设某车间生产的钢珠直径X(mm)~N(?,?2),从生产出的一堆钢珠中任取12只,测量其直径,样本方差S2?0.252,计算:总体方差?2的置信度为1???0.95的置信区间. 已知参数及样本特征:样本容量n?12,样本方差S2?0.252,置信水平??0.05,

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概率论与数理统计

上侧分位数?220.025(11)?21.920,?0.975(11)?3.816.

置信下限为

(n?1)S211?0.2520.6875?2(n?1)??2??0.0314, ?/20.025(11)21.920置信上限为

(n?1)S211??21)?0.2520.6875?2??0.1801, 1??/2(n?1?0.025(11)3.816因此总体方差?2的置信度为1???0.95的置信区间为

??(n?1)S2(n?1)S2?2,2??[0.0314,0.1801]. ???/2(n?1)?1??/2(n?1)?

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