高等数学预测试卷(一)参考答案

高等数学预测试卷（一）参考答案

一、 选择题

1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 二、填空题

6．??b,?a???a,b? 7．4x?3y?12a11．y?3z?7三、解答题

16．解lim(x?0?0 8．

2costt?cost 9．

12x2?C 10．arcsinx?12?C

?0 12．?13100 14．??8,1,5? 13．

y?1?arctanx?CF(b,d)?F(a,d)?F(b,c)?F(a,c) 15．

1x?1sinx)?limsinx?xxsinx2x?0?limcosx?1sinx?xcosxx?0?lim?sinx2cosx?xsinxx?0?0

2x?y?x?y217．解 把x?0代入ln(x 将x?0,y18．解 ??y)?xy?sinx0?y?0?1y??ax3，得y?1 方程两边求导，得, 故y??1 即

?1,x2?2?3xy?xy??cosx23

?1代入上式

?0?0?cos0dydxx?0?1．

?0,y??0y?alnx?bx2?3x ??2bx?3 由y在x1时为极值点知y?x?1x?2

?a?2b?3?0于是??a??4b?3?0?2?4

2?a??2解得??1b???2?

cosx219．解 ??1?e?4cosx?x2?dx??40cosx1?e2?xdx????0cosx1?e?40?x2dx24 而对于 ????x1?e4t0dx，令?x?t，则dx??dt

????x1?e40cosx2dx?2??0cos(?t)1?e?t4(?1)dt??2cosx1?e2dt=??40cosx1?ex2dx

故 ??1?e4?4?cosx?xdx??40cosx1?e?x?dx??40cosx1?exdx?2?04cosxdx

??

20．解 ?x?12??(1?cos2x)dx?4012??dx?4014??cos2xd(2x)?4012?x40?144sin2x0??8?14

f(x)??0sint??tdt ?f?(x)?sinx??x

? ? ? 0??f(x)dx??f(x)x? 0??0xdf(x)??f(?)??0?xsinx??xdx???? 0??sint??tdt?? 0?xsinx??x?dx

21．解

???0??sinx??xdx??0?xsinx??xdx??0(??x)sinx??xdx???0sinxdx??cosx0?2

I???Dxycos(xy)dxdy??2022?02dx?0xycos(xy)dy

2 22．解

?12?dx?0cos(xy)d(xy)?222212??sin(xy)? 0dx?202??12?204xdx??cos4x?sin81?20?0．

z1?y由方程yz?x?z?0??z?xdx??z?y 得z2x1?y??x21?y 故

dy?z?x??2x1?y?y,?z?x22(1?y)??

从而dzdy?dx?z1?y．

23．解 过椭圆上任一点P(x0,y0,3)的母线方程为

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??x0??故??y0???1?t?2?xtyt(z?1)

?x?0?x0t??y?0?y0t?z?1?(3?1)t?1?2t?

又P(x0,y0,3)在椭圆上

(x故

t25)2(?yt9)2?1，即

??x??1?(z?1)?2252??????2?2??y??1?(z?1)?29??????2?1

从而锥面方程为

x225?y9?(z?1)4．

24．解

???x21x?21?1f(x)?(?)?????2552x?3x?15?1?x?3(1?x)??3??nnn??(?1)?()?x

3n?1???2??

?2?x?1由?3 ?x?1? 解出收敛区间为（－1，1）．

dyy25．解 对应的齐次方程y?? 将C换成C(x)，即y 即

C(x)?y?0，即

x?dxx 解得通解为Yx?Cex

x?C(x)e,y??C?(x)e?C(x)e12e?x 代入原方程，得C?(x)e

?cosx，知C?(x)?e?xsocx

?x?C?(x)dx??ecosxdx?(sinx?cosx)?C 从而原方程的通解为y 将初始条件代入，得C26．解 先求其二阶导数y???Cex?12(sinx?cosx)

12(e?sinx?cosx)．

x?312 于是所求解为y?224x?6x,y???12x?12x?12(x?1)x 令y???0得x?0,x?1 1 0 (1??) 列表如下讨论其凹凸性 x (??,0) y??0 0 (0,1) ＋ － ＋ 上凹 拐点（0，1） 下凹 拐点（1，0） 上凹 27．解 已知方程两边对x求导，得 f?(x)?2f(x)?2x 即f?(x)?2f(x)?2x

y 于是根据一阶线性方程的求解公式，得

f(x)?e2?dx??2xe??2dxdx?C?e?2x??2xe?2xdx?C?e12?2x???xde??2x?C??e2x??xe?2x??e?2xdx?C??x?12?12?Ce2x

又由已知方程知，f(0)?0，则0??28．证 令

z??z?yyf(u),u?x?y22?C，知C12 故

f(x)??x?12?e2x．

则

?1f(u)2?1?1??f(u)??2x??2xyf(u)??2?y???2???xf(u)?f(u)??z

?f(u)?y?f(u)??(?2y)f(u)?1?zy?y??2yf(u)??21f(u)??2yf(u)??1yf(u)21f(u)2

1 于是

1?zx?x?2yf(u)??f(u)2?yyf(u)2?zy2

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高等数学预测试卷（二）参考答案

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 二、填空题

6．

?0 x?0 f(?x)??1 x?0?x?C 7．－1 8．3f2(x)f?(x) 9．f(?2)?1t28 10．f??(x)???(x)

24?y211．2tan三、解答题

12．2x 13．0 14． 15．??2dy?0f(x,y)dx

16．解 当x???时， 而

1x?0,1xarctan2x??2，故arctan2x为有界变量

1x?arctan2x?0

为无穷小量 故lim12x?limt2tantt?0x??? 另外（令arctan12x?t），

x???limx?arctan12xarctan?limx???1x?12 故原式=0?12?12．

17．解 ?xdxa?x222???asinucosuacosu32du（令x?asinu）?a?sin22udu?a22?(1?cos2u)du

18．解

a22u?a24sin2u?C?x?22axxarcsin?2a2x?222a?x?22?C

nlnx?ln(2?x?2)?ln(1?x?22)?ln2?ln1(?)?ln2??(?1)n?1n?1(x?2)n?2n

由?1??1，解得收敛区间为?0,4?．

219．解 对应齐次方程的特征方程为r??2r?0，得r?0,?2 因此对应齐次方程的通解为Y?2x?C1?C2e?2x

由于原方程的自由项中，－2是特征方程的单根，

故设原方程的一个特解为y?Axe，代入所给方程，并消去e?2x，

32xe?2x得A?20．解

?32，于是y???32xe?2x 从而原方程的解为 的法线向量n??3,?1,1?

y?y?Y????C1?C2e?2x．

?1的法线向量n1??1,?1,?2?，?22i j k 故所求直线的方向向量可取为s?nx?3y?7z21?n2?1 ?1 ?2???3,?7,2?

3 ?1 1 故所求直线方程为21．解 设u??．

?x?mz,v?y?nz，则F(u,v)?0

Fy??Fu??0?Fv??1?Fv? 故F??xFu??1?Fv??0?Fu?

Fz??Fu??m?Fv??n?mFu??nFv?

从而 故m?z?x??Fx?Fz??z?y??Fu?mFu??nFv?mFu?mFu??nFv?

?nFv?mFu??nFv??z?y??Fy?Fz???Fv?mFu??nFv?

?z?x?n????1

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22．解 ?y?1x?2x?42 ?y???2x?2(x?2x?4)22?2(1?x)(x?2x?4)6?(?1)27??22 令

?0y??0，得x?1

又y???6x(x?2)(x?2x?4)23 ?y??(1)?1329．

?0,x2?2?x?1为极大值点，极大值为y(1)?再令y???0，得x(0,2)1，列表如下

(2??)x y??(??,0) 0 0 拐点(0,14)240 2 0 拐点(2,14) y ＋ 上凹 14) 14)．

－ 下凹 ＋ 上凹 故此曲线有两个拐点(0, 23．解 ??xlnD与(2,ydxdy???0xdx?0lnydy?2n?14ex2(ylny?y)1?8?1?8?e．

11?x2 24．解 令S(x)??n?1x2n?1x (x?1)

x 则S?(x)??xn?12n??1 (x?1)

于是S(x)??0S?(t)dt??0dt1?t2??0dt?x12?0?x?1?1?tt?11?x??x (x?1)?dt?x?ln1?t?21?x1

25．解 由方程组的第一个方程式对t求导得x?ecost1?esintyy?6t?2?2(3t?1)

由方程组的第二个方程式对t求导得yt?eysint?eycost?yt??0 得yt? 又t??ecost2?yy 因此

dydx?yt?xt??ecost2(2?y)(3t?1)y

?e2?0时，由方程组可得x?3,y?1 故

dydxt?0?e?cos02(2?1)(0?1)．

26．解

2??y?2?x如右图，联立方程???x?y 得两曲线的一个交点为（－1，1）

?y?2?x2联立方程??y??x?0，得两曲线的交点为（－1，1） 1 故S

222??1?(2?x)?(?x)?dx??0?(2?x)?x?dx

?22??1(2?x?x)dx??0(2?2x)dx

013?(2?x)2x????? 23??0-123?1741???2x?x? 0???26323??

使F?(?)?0

27．证 令F(x)???ax01cost?a2cos3t???ancos(2n?1)t?dt1312n?1 则F(x)?a1sinx?a2sin3x???ansin(2n?1)x 从而F(0)?0,F? 即

?????0?2? 由罗尔定理知

???????0,??2?a1cos??a2cos????ancos(2n?1)??0 故方程a1cosx?a2cos3x???ancos(2n?1)x?02在(0,?2)内至少有一个实根．

28．解 设F(x,y,z)?(x?y?z)?xyz?0222

- 46 -

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则Fx??2(x2 故

2?y?z)?2x?yz?4x(x?y?z)?yz2222222222

??4y(x?y?z)?xz4z(x?y?z)?xy222222Fy??2(x?y?z)?2y?xz?4y(x?y?z)?xzFz??2(x?y?z)?2z?xy?4z(x?y?z)?xy?z?x??Fx?Fz???4x(x?y?z)?yz4z(x?y?z)?xy222222222222

?z?y??Fy?Fz?

高等数学预测试卷（三）参考答案

一、 选择题

1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 二、填空题

6．

x3x?1x?2 7．0 8．k?(k?Z) 9．1 10．?coty?23?z?4x?tanx?C 11．2?f???b??a????f????2????2?

12．

? 13．?0dy?y24y4f(x,y)dx 14．C1lnx?C2 15．2

三、解答题

16．解 函数f(x)的定义域为(??,??)，f(x)在(??,0)和(0,??)均为初等函数

故f(x)在(??,0)和(0,??)上连续。

当x?0时，limx?0?f(x)?limx?01x?sinx?1，limx?0?f(x)?lim(xsinx?0?1x?1)?1，

故limx?017．解 令ff(x)?1，而f(0)?k1r

．故k?1．

?u?x?u?r?r?x1r2?x?y22，则u

?

， 故

???(?)?2xx?y2?(?1r2)?xr??xr3

由于u对自变量具有对称性． 故 从而 同理 18．解 ??u?x222?u?y?3??yr3

?3???x(?r?3?x)?3r?4?r?x?x?r?3?r?3x2??2?1??r??u?y22?u?yy2?r?3?3x2??2?1??r?x 因而

?u?x22??r?3(x2?y2)??3?2??r??2r??12．

(x?y)322(cosx)?(siny) ?ylncosx?xlnsiny

cosysiny?y?

两边对x求导，得 19．解 ? ?

arctan1x?y?lncosx?y??sinxcosx?lnsiny?x? 即

dydx?lnsiny?ytanxlncosx?xcoty．

?2为有界变量，而x1x?0?0时，x为无穷小量．

limf(x)?limxarctanx?0x?0 故

limf(x)?0?f(0)x?0，即

f(x)在x?0处连续

又 即

limx?0f(0?x)?f(0)xf(0?x)?f(0)x?1??limarctan???x?0x2

limx?0f(0?x)?f(0)x?1??limarctan??x?0x2limx?0不存在，故

f(x)在x?0处不可导．

t0tx2tx2txt20．解 由定积分性质将?(x)化为

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?(x)??xedt??xedt??0edt??0edt??0edtx2

- 47 -

故

? ?(x)?d?x2t?0edt?dx???0x2edtt222??dxetdt?dxetdtxxxx?e?2x?e?2xe?e??00?dxdx?．

nn?1n?221．解 ?lim(n?1)1nn???limnn?2n?2n??(n?1)?lim1(1?1n)nn???(nn?1)?21e

又 ?n?1?1n发散，故级数?n?1?nn?1n?2(n?1)发散．

xn22．解 ? 而 故

f(x)?ln1?x1?x?ln1(?x)?ln1(?x)23ln1(?x)?x?x2x?2x2?x???(?1)3n?1n???? (?1?x?1)

?C1cosx?C2sinxln1(?x)??x?1?x1?x2x32???x2n?1xnn

(?1?x?1)ln?2(x?3???2n?12??)

(?1?x?1)23．解 对应齐次方程的特征方程为r 令原方程的特解为

???1?0，得r??i 故齐次方程的通解为Y1313

y?Acos2x?Bsin2x

，从而y13sin2x? 对y求二阶导数并代入原方程后，得A故原方程的通解为

?y x???1又? ??y ?1?x?????0,B??sin2x

y?Y?y?C1cosx?C2sinx?

??C1?1得? ?2?C??12?3???cosx? 即

13?C1??1??1?C2??3?13sin2x

因而所求的特解为y24．解 ? ?e?xsinx?．

?x?xsinxdx???e?xdcosx??(e?xcosx)??cosxde??e?x?xcosx??e?xcosxdx??e?xcosx???xdsinx

? ?e 故 ?025．解 ?

???x??e12?xcosx?e?xsinx??sinxde??e(sixn?cosx)??e?x sinxdxsinxdx??e?x(sinx?cosx)

b0e?xsinxdx?lim?eb???0b?x?1?x?n?cosx)? sinxdx?lim??e(sixb????2??122?lime?bb???23(sibn?cobs)?12．

2z?xy?xy224 ?

?z?y?2xy?4xy23 故

?z?x?y2???x(2xy?4xy)?4xy?4y?4y(x?y)3．

26．解 设所求函数y

y?f(x)??f(x)，则由y???6x?a，得

（C2y??f?(x)??(6x?a)dx?3x?ax?C1

23?(3x?ax?C1)dx?x?a2x?C1x?C221,C2为任意常数）

由题意，有 即

f??(2)?0,f?(2)??3,f(2)?4．

?x?6x?9x?232?12?a?0??12?2a?C1??3?8?12a?2C?C?412?

?a?12?得?C1?9?C?2?2 故所求函数为y．

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27．证 令f(x)?(x?x 由

f?(x)?0)?(x?x2)???(x?xn)?11nn2222?(x?xi) 则 f?(x)?2?(x?xi) i?1i?1nn得驻点x??x????xi 由于f??(x)?2n?0 故x?i?11n从?xi为惟一的极小值点，

i?1n而它也是在??28．解 令??内的最小值点 即当x取?x时，?(x?xnii?11nni)2为最小．

i?10f(x)cosxdx?A ?

?f(x)?x??0f(x)cosxdx?x?A ???f(x)cosx?xcosx?Acosx 两边对x积分，得? 即 故

A??0f(x)cosxdx??0xcosxdx??0Acosxdx

??0?xdx?A?0dsinx??0xcosxdx??0xdsinx?(xsinx)?0xcos????0sinxdx??0dcosx?cosx???0??2

f(x)?x?2．

高等数学预测试卷（四）参考答案

一、选择题

1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A 11.C 12.C 13.C

14.B 15.D 16.C 17.B 18.B 19.A 20.B 21.A 22.D 23.C 24.C 25.C 26.D 27.B 28.C 29.A 30.C 31.D 32.A 33.A 34.C 35.B 36.B 37.A 38.C 39.C 40.D 二、计算题（一）

41．解 令u=4x,有 原式=limu?2u?2u2?4=limu?21u?2?4?z?x=

14

?z?x42．解 方程两边对x求偏导数，有 2x+2z?z?x (4-2z) =sinx(?2xdx=2x

2

?z?x=

x2?z

43.解 p=-ctgx,q=2xsinx,于是 y=e??pdx(三、计算题（二） 44．解 y??1secx?tgx(secx?tgx)???qe?pdxdx?c)?c)=(x

+c)sinx

1secx?tgx(secxtgx?sec2x)=secx ，于是

45.解 设x=tg?，则dx=sec2?d?,x=1时，?= 原式=???3?4；x=3,?=

233?3sec?d?tg?sec?22 =??n?3dsin?sin244? =-

1sin??3?4 =2?

1? 46．解 令an=

5n?(?3)n，则 R=limn??anan?11?3n()(n?1)(5?(?3))555=?limlimn??n(5n?1?(?3)n?1)n???3n?11?()5nn=

15

于是此级数的收敛半径为

15

2? 47．解 令x=rcosθ,y=rsinθ,则 原式=?四、应用题

d?rsinrdr?0?2?=-2??2?rdcosr??=-2?(rcosr2???2?cosrdr)=-6?2

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y?3? 48．解方程组???y?2xx2得交点（-3，-6），（1，2）. S=

??(3?x?312)?2xdx?=〔3x-1x33?x2〕-3=32

31

49.解 总利润函数为

L（x）=R(x)-C(x)=(20x-x2)-(1x33?6x2?29x?15)=-1x33?5x2?9x?15,5?x?20

令L?(x)??x2?10x?9=-（x-1）(x-9)=0,得驻点x=9,x=1（舍去）

。

由L??(x)??2x?10,L??(9)??8?0,故知当每批生产900台时利润最大

高等数学预测试卷（五）参考答案

一．选择题

1．A 2. B 3. D 4. A 5. C 6．B . 7.A 8.B 9.C 10.D 二、填空题

1.

x?x?12 2. -1 3. 2 4.y?32x?42 5．3

22x6．?cosx44?C 7．ln2 8．ln3 9．2e2xy3,3ye 10．

12?R2

三、计算题

1．解：

2?x21sinx1?1lim(x?0)x(1?=limx?0x2)?2x(?12)?1(1?=[limx?0x2)?2x](?12)lim(1?x?02x)=e?12 = 0

22．解：lim(x?0?1x)=lim(x?0x?sinxxsinx)=lim1?cosxsinx?xcosxx?0=limsinx2cosx?xsinxx?03．解：因为y??2xcosx?lnx?1?3?2xcosx2?lnx?22 所以

dy?(2xcosx?lnx?2)dx

4．解： 当x?0时，由已知sin(xy)?lnx?1y?1，得y?e因为在方程等号两边分别对x求导，得 cos(xy)[y?将x代入，得

10?1y?exy?]?1x?1?y?ydydx?0

2?0,y?ecos(0?e)[e?0?y?]???0 所以

?e?ex?0

5．解：设t ?dxx??6x，则x1t?t1332?t6，dx?6t35dt，于是

dt3x=?6tdt5=6?t?1?11?t=6?(t12?t?1?11?t1)dt

1=6(6．解 ??02t?312?01t2?t?ln1?t)?C=2x?2?3x3?6x6?6ln1?x6?C

xsinxdx=?x1?cos2x2dx=

12[?0xdx??0xcos2xdx

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11=[x222??012(xsin2x?0??0sin2xdx]=

??24?14(?12?cos2x)0=

?24

17．解：因为

liman?1ann??=lim(n?1)?51n?52n2n?1n?? =limn22n??(n?1)?5?15 所以原幂级数的收敛半径为：5

8．解：因为原方程是可分离变量方程，即

两端积分，得

1212y1?y122dy?x1?x2dx

ln(1?y)??2ln(1?x)?2lnC 即

(1?y)(1?x)?C22有条件y(0)?1，得C?2 所以方程的特解为：

??4??4?02(1?y)(1?x)?2229．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 特征根为重根

??2，

y?(C1?C2x)e2x，故齐次方程的通解为

?Axe22x2x 其中C1,C2为任意常数．

设原方程的一个特解为y?解得A?12，代入原方程得 2Aex2?e2x

． 由此得原方程的通解为 y?(?3x3232?C1?C2x)e2x

dx+3y32310. 解：dz??zdx+?zdy ?z?x?y ， ?z?y1?xx?yy2?3y323x?y ，dz?3x323x?yx?ydy

11.解 ：四、应用题

x??eDydxdy??10dy?y02xedx?y?10?xy?ye??? =?dy??02?yy??1y?0(ye?y)dy??ye?e?2?2??0y1

2x 22解： 设梯形上底为2x，高为h，面积为A． 见右图． 因为 h? A?(x)?2r?x，且A(x)?x(r?x)r?x222r?2x22h 22r?x,2220?x?r?(r?x)r?x

r r?x2? ?r?xr?2xr?x22?(r?2x)(r?x)r2?x2

时，A?(x)?0； 当

r2?x?r令A?(x)?0，得x 所以，当x五、证明题 证：设f(x)?e?xex1?r2，x2??r（舍去）. 当0?x?r2时，A?(x)?0；

1?r2时，A取得极大值，也是最大值. 即当梯形的上底长为r时，梯形面积最大.

因为

xf?(x)?e?e

当x?1时，f?(x)?0，即f(x)单调增加. 有 f(x)?f(1)?0

即 e?xe?0 所以，当x?1时，ex?xe.

x

高等数学预测试卷（六）参考答案

一．选择题

1．D 2. B 3. C 4. A 5. D 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题

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1.y?x1?x 2. 5 3.(1,??) 4.F(ln 7．sec 8．

9ln10x)?C 5．u?yx

x26．?1???1??x?2x?12x?c 9．2 10．2xlnydx?ydy

三、计算题

x?cosx?1(x?sinx)2221??limx??cosx?1xsinxx22lim[1??x??cosx?1xsinxx22]1．解：

limx?? = 1

)2(1?)2lim(1?x??2．解：limex3?1?2xx33x?0=lim13xe2x3?6x22x?03x=lim(exx?03?2) = -1

1(3)?123．解：因为

y??x?(1?22x2x?12)?1x?12 所以

y?(3)??12

x?14．解： 因为在方程等号两边分别对x求导，得

11?(yx)2xy??yx2?12122x?y(2x?2yy?)

化简得

xy??y?x?yy? 所以 y??=?ex?yx?y

5．解：因为?e2xsinxdx=?e2xcosx?2?e2xcosxdx2xcosx?2e2xsinx?4?e2xsinxdx所以 ?e6．解：?102xsinxdx=?15e2xcosx?25e2xsinx?C

10x?1x?12dx=?102xx?1dx+?1021x?1dx=

12ln(x?1)2+arctanx10

?12ln2??4

17．解：设

x?y2，则原幂级数改写为 ?n?0?ynn?1(n?1)4 因为

liman?1ann??=lim(n?1?1)?41(n?1)?4n?1?1n??=limn??n?1(n?2)?4?14

n?1所以?n?0?ynn?1(n?1)4的收敛半径为：4 故原幂级数的收敛半径为：2

dyyx1?x2 8．解 原方程是变量可分离方程，即

??dx， 两端积分，得

lny??12ln(1?x)?lnC2

即

lny1?x2?lnC

y1?x2?C

2由条件 y(0)?1， 得

C?12 所以方程的特解为

y1?x?1

9．解：原方程的特征方程为 ??5??6?0，

特征根为???6，??1，故原方程的通解为 y?C1e?6x?C2ex 其中C,C为任意常数．

将条件y(0)??4，y?(0)??30代入，得C?1，C?2 所以原方程的特解为 y?e?2e

1212?6xx12淘.宝.小气鬼充值中心预祝全体考生金榜题名 - 52 -

10． 解： 11．

解?z?x?f1e?f2

'y'

?z?x?y2=

f11xe''2y?f13e?f21xe?f23?f1e''y''y'''y

??(x?y)dxdy＝??xdxdy???xdxdy???xdxdyDDD1D2???2??xdxdy＝－?d??020D2上2cos?rcos?rdr??163??cos?d???2041631?3422

???.其中

四、应用题

D1?{(x,y)x?y?4,}，D2?{(x,y)x?y?2x?0}2222.

解： 设所确定的x与测得的数值之差的平方和为y，即 y?(x?x1)2 y??2(x?x1)?2(x?x2)???2(x?xn)?(x?x2)???(x?xn)22

令y??0，即2nx?2x1?2x2???2xn?0，得 x?x1?x2???xnn因为 y??(x)?2n?0，所以x为y的最小值.

因此，当x?五、证明题 证： 设f(x)? 当0?x?sinxxx1?x2???xnn时，它与测得的数值之差的平方和为最小.

因为

f?(x)?xcosx?sinxx2?cosxx2(x?tanx)

?2时，有x?tanx，得

?f?(x)?cosxx2(x?tanx)?0，即f(x)单调减少. 有

sin?2?2f(x)?f()??2?2 即

sinxx?2? 所以，当0?x??2时，

2?x?sinx

高等数学预测试卷（七）参考答案

一、选择题

1.B. 2.A. 3.C 4.B. 5.B. 6.C 7.A 8.D. 9.B. 10.A . 11.C 12.C. 13.D 14.D. 15.B 16.C. 17.D. 18.B. 19.B. 20. A 21.A 22.A 23A 24B 25.D 26.D 27.C 28. A 29.C 30.C 二、填空题 1. 1 2. 7.

2?331223? 3.

dy?21?4x2dx. 4. ?a?4,b?5. 5.?1,?z2?1? 6. ?f(x)?g(x)?2.

23. 8.e??x2 9.

(?x)n!2n??3 10.

nz?y22?2x. 11. ?x?y??2xcosy 12. ?y???2y??3y?0 .

13.

f(x)?e??n?0??(?1)n?01n!x2n,x?(??,??) . 14.ln?1???x??2? 15.?三、计算题 1．解：

lim001?x2?e3?x2x?0xsin2x?x2?lim1?x2?e4?x200x?08x1limex?0?lim116?2x?2xe32x3?x2x?0?lime?x2?12x?016x

?lim?2xex?032x???x216?? .

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1y??2cos2xln(x?3x)?sin2x22x?3x?3x22.解：取对数得 ：ln2y?sin2xln(x?3x)，两边对

sin2x22x求导得：y2x?3x?3x2

所以

xy??(x?3x)2[2cos2xln(x?3x)?sin2x22]

(2x?3)sin2x?2(x?3x)22x?2sintsin2xcos2xln(x?3x)?(x?3x)t2costdt?4?sin2sin2x?1.

3.解：

?dx?4?x?4sin22costtdt?2?(1?cos2t)dt

2

4.解：

?2t?sin2t?C?2arcsinx2?2sintcost?C?2arcsin12?x?ln(1?x)2?x1x210?x4?x21?Cdx

13ln2?1ln(1?x)(2?x)20dx?1?110ln(1?x)d?0?1(2?x)(1?x)?ln2?13

.

?z?0(2?x?11?x)dx?ln2?13ln2?x1?x?ln2?023ln2?.

5．解：?x?z?f?(2x?y)?(2x?y)?x??g?u?u?x??g?v?(x,xy)?ygv?(x,xy)?v?x?2f?(2x?y)?gu ??(x,xy)f?(2x?y)?xgv ?y?f?(2x?y)?(2x?y)?y??g?u?u?y??g?v?v?y.

6．解：积分区域可表示为：0?x?1,x?y?2x.

I???Dxydxdy?2?10dx?2xxxydy2

??10xdx(2y22x2)x?n3?210xdx?4310x510?310

?7．解： 令x?1?t，级数化为 n?0??liman?1an?lim?1?(?3)n1nt，这是不缺项的标准的幂级数.

1(?3)1(?3)nn1?(?3)1?(?3)?1??3n??n??n?1?lim13n??因为

?，

故级数对级数

?1?(?3)n?0?1ntnR?1的收敛半径

n??3，即级数收敛区间为（-3，3）.

?1?(?3)n?01n(x?1)（?2，4）有?3?x?1?3，即?2?x?4. 故所求级数的收敛区间为.

8．解：微分方程x2dy?(2xy?x?1)dx?0可化为

Cx2y??2xy?1?xx2，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次

线性微分方程

y??2xy?0通解为

y?y?.

2C(x)x2设非齐次线性微分方程的通解为

代入方程得

四、应用题

，则

y??xC?(x)?2C(x)x3，

y?1x?12?Cx2C?(x)?1?x?C(x)?x?x2?C. 故所求方程的通解为.

1.解：由题意可知：总成本C由x??C1?C2?x?y?2x?2y?8，

22约束条件为x?y?8.问题转化为在x?y?8条件下求总成本C的最小值 .

y?8得y?8?x，代入得目标函数为C?2x2?20x?88(x?0的整数）.

则C??4x?20，令C??0得唯一驻点为x?5，此时有C???4?0.

故x?5使C得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有y?3,C?38.

所以 甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位.

2．解：此立体可看作x区域绕y轴旋转一周而得到。

利用体积公式

Vy?2??bax|f(x)|dx.显然，抛物线与x两交点分别为（1，0）；（2，0）

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平面图形在x轴的下方.

故

五、证明题

Vy?2??bax|f(x)|dx??2??21x(x?1)(x?2)dx??2?

x??t?21(x?3x?2x)dx??2?(32x424?x?x)132??2.

证明：因为??a故?a?aaf(x)dx??a0af(x)dx??0?af(x)dx0，而??a?a00f(x)dx??a00af(?t)d(?t)??a0f(?t)dt??a0f(?x)dx，

f(x)dx?a?0f(x)dx?a??af(x)dx?f(x)dx??f(?x)dx

即有??af(x)dx???0[f(x)?f(?x)]dxcosx1?e?x.

?x?4? 利用上述公式有

??4dx??40[cosx1?e?cos(?x)1?ex?]dx??40?ex1cosx??xx1?e?1?e??dx?????40cosxdx?sinx40?22.

高等数学预测试卷（八）参考答案

一．填空题：

1．(??,0)?(0,1)?(1,??) ， 2．， 3．（1）?21?y?0?z?0rxy2或者

x1?y0?z0，或者x?t,y3y2x?0,z?0（其中t是参数），

（2）x?0 4．a二．选择题. 题 号 答 案 三．计算题。 1．解 ：令ln2．解：y'?0,b??1， 5．（1）?， （2）.

1 B 2 D 3 B x(2x?1)x?x?14324 B 5 D y?xln(x?x?1)2， 则y'?[?ln(x?x?1)](x?x?1)22x

?3x?4x?x(3x?4)，驻点为x1?0,x2?2

，

45y()??327 （法一）

（法二）

xy?6x?4''，

y(0)??4?0''，

4y(0)?1（极大值）， y''()?4?03（极小值）.

'－1 -2 （－1，0） 正 递增 0 0 1 (0 , 43) 43 (43 , 2) 2 y 负 递减 430 ?527正 递增 y当x?0时，y?1（极大值），当x?时，y??x527（极小值）

3．解：利用莱布尼兹公式

0dfdx1nn?[x?2nx?n(n?1)]e2

x?2x?104．解： ??11x?3x?21200dx???1(x?1)(x?2)2xdx??[?11x?2?1x?1]dx＝ln?ln?143

5．解：?11?e2xdx＝?x1?e?e2x2x1?edx??x?112ln(1?e2x)? C （其中C是任意常数）

6．解：?(x20?x?2)edx＝(x2?x?2)ex0??(2x?1)exdx

01淘.宝.小气鬼充值中心预祝全体考生金榜题名 - 55 -

＝2－?(2x?1)exdx ＝2－(3e?1)+2ex0＝3?3e?2e?2?1?e。

0117．解：

?z?x??ysin(xy)?cos(x?y)

12[1?x?12?z?x?y?(2??sinxy?xycosxy()?sinx(?y) .

8：解：y?1x?1?12[1?1x?12n]??x?12)?(2x?12)???(?1)(3nx?12)??]n＝?(?1)n?0?n(x?1)22n?1， 收敛区间为（-1， 3）.

，特征值为?， ?1（二重根）

19.解：特征方程为?齐次方程

dydx22?2??1?0dydx22?2dydx?y?0x的通解是~y?(c1?c2x)e，其中c,c2是任意常数.

?2dydx?y?x的特解是y?x?2?，

是任意常数

2所以微分方程的通解是y?10．解：

a?2b2?x~y?y?x?2?(c1?c2x)e，其中c1,c2?a?2b2＝(a?2b)?(a?2b)?(a?2b)?(a?2b)＝2(a2?b)?26.

四．综合题： 1．解：（法一）

??sin02n?12xdxsin2m?12xdx＝－?[cos(n?m?1)x?cos(n?m)x]dx

201??11?1?[sin(n?m?1)x?sin(n?m)x]?0, n?m?0?2n?m?1n?m＝?1?1???[cos(n?m?1)x?1]dx??, n?m?2?20

（法二）当n?m时

??sin02n?121[xdxsin12m?12xdx＝－?[cos(n?m?1)x?cos(n?m)x]dx

201?＝?2n?m?1?sin(n?m?1)x?1n?msin(n?m)x]?0?0

xdx?12?当n?m时 ?sin02n?124?2m?1＝?sinxdxsinxdx203222n?12?[1?cos(2n?1)x]dx?012x?0 ＝

?2

F(1)?02．证明：（1）考虑函数F(x)?ax?bx?cx?dx, F(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，F(0)? 由罗尔定理知，存在??(0,1)，使得F'(?)?0，即F(?)?f(?)?0，

'，

就是

（2）f

'f(?)?4a?''23?3b??6bx(x)?F(x)?12ax', 所以函数f(x)在（0，1）内至少有一个根.

?2c 因为3b?8ac，所以(6b)?4(12a)(2c)?36b?96ac?12(3b?8ac)?0，

2?2c??d?02222f(x)保持定号，f(x)函数f(x)在（0，1）内只有一个根.

高等数学预测试卷（九）参考答案

一．填空题： 1．lim5．

nn??2?3?5?5。

nnn 2． x?3。 3． A?1 4．。

1 0 1+ y2dydx?ln(x?x?1)?22xx?12。

?2? ? ?2 (1?x)cosx1?sinx23dx??2 6．I??dy?1-y2f(x,y)dx。 7．

dz?ydx?xdy1?xy22。 8．

ln(ex?x?C)

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二．选择题：

1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 三．计算题： 1．解：lim(x?3)x??x?12x?6=lim(1?x??3x?6)? x?63(? 3x?6) (x?12)

32 又因为 2．解；dydxlim(1?x??3x?6)? x?63?e

lim?(x??3x?6x?13) (??) 221x2 所以lim(x?3)x??x?12=e? 。

x?6?[cos(lnx)?sin(lnx)]?x[?sin(lnx)1x?cos(lnx)dydt]=2cos?lnx?

3．解：dxdt?2e2tcost?2e22tsintcost

?2e2tsint?e2t2 o sstintc

dydy2e(cost??dt?2t2dxdx2e(sint?dt12222t2stintcos)?stintcos)222t(?cost n tsitsin c o s )cos)t?(sint4．解：5．解：

?sin? 1 0xcosxdx?dx?e?xsinx?cosxsinxcosx22dx=?[x1sinx2?1cosx2]dx??cotx?tanx?C

e?ex?x? 1 01?e?32x=dx? 1 0d(e)1?(e)xx2dx =arctanex 1 0?arctane??4。

(r?1)(r?2)?06．解：微分方程d而?2y2dydxdx?2y?2e对应的特征方程为r2?3r?2?0? 特征根为r12x?1,r2?2

?1，所以r1???1为单根，

* 对应的齐次方程的通解为Y??2?C1e?C2ex2xx

x非齐次方程的通解为y有dydxx?0?Cxe?x代入原方程得C 有通解y?e?C1e?C2e?2xe

?0,yx?0?C1?C2?1 ?C1?0,C2?1?1???C1?2C2?2?0 有解y2x?2xex

7．解：通过直线?3x?2y?z?1?0的平面束方程为 ??2x?3y?2z?2?0 3x?2y?z?1??(2x?3y?2z?2) ?即 (3?2 ? ?x)?(2??3y)??(?1?z2?)?(??12要求与平面x?2y?3z?5?0垂直，则必须 1?(3??2)?2?(2??3?)?3?(??14?2??0????2 所求平面方程为x?8y?5z?5?0

8．解：f(x)?ln(x?1)(x?2)?ln(x?1)?ln(x?2)=ln2?ln(1?)?ln(1?x)

2x2 ? =ln2??(?1)nn?0?()n?121x?n?1?22?(?1)n?0n1n?1n?1x=ln2??(?1)nn?0 2 1?1n?14(1?222n?1n?1)xn?1 收敛半径R?1

9．解：I???Dxy22dxdy?? 2 1dx? x 1xxydy=

? 2 1x(?21y)dx?xx1?(x?x)dx33=(3x4?x2)1?294

10．解：设所围面积为S(a)

S(a)??a?1axdx?2(a?1)?a312

S'(a)?(a?12)?a2?2a? 1 令S S''(a)?2?0，所以S(?1)?2112'(a)?0?a??

??为最小的面积 Vx? 12 - 12ydx?2?2? 12 0xdx?425?x5120??80

四；综合题：

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1．证明：令F(x)?2x?? x 0f(t)dt?1，

则在[0,1]上F(x)连续，

1 0F(0)??1?0,F(1)?2?? 1 0f(t)dt?1?1?? f(t)dt?0，

由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至

少存在一点C，使得F(C)?0 又因为F'(x)?2?2x?f(x)?1?0，所以F(x)单调上升，F(x)?0在?0,1?内最多有一个根，所以

? x 0f(t)dt?1在

m?0,1?内有且仅有一个实根。

n2．证明：令F(x)?F(x)?mx'm?1x(a?x)nm

n?1(a?x)?nx(a?x)x?mam?n?xm?1(a?x)[m(a?x)?nx]?xn?1m?1(a?x)[ma?(m?n)x]

n?1令F'(x)?0?F(' '，（当m,n?1时，x?0,x?a，此时F(0)?ma)m?2F(a)?0)

mam?n)?m(m?1)(m?n(nam?n)?2mn(nmam?n)m?1(nam?n)n?1?

+n(n?1)(所以

F(mam?n)mam?n)(mnam?n)n?2??mn?1nn?1am?n?2(m?n)m?n?3?0

mam?n)是F(x)在???,???上的极大值，有唯一性定理知：F()?mnmnm?n是最大值，故

F(x)?F(mam?n?2 ?2 0 (m?n)am?n

I?3．解： 令x?2I??t,dx??dt

? ?2f(sinx)f(sinx)?f(cosx) 0dx?? ?2f(cosx)f(sinx)?f(cosx) 0dx

?f(sinx)?f(cosx)f(sinx)?f(cosx)dx??2?I??4.

高等数学预测试卷（十）参考答案

一、选择题

1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.B 10.C 二、填空题

1.

x2?6 2.

x?0 3. ?1 4.

1ysinx?C 5. ?1 6．R1． 7.

xcos?xy??2xcos?xy?sin?xy?．

8. x?y(lny?C)．9． ?dy0（1）y?0， （2）x?2 ?f?x,y?dx． 10．

y三、计算题 1. 解：limx?? 2. 解：limx?0(2x?1)253(2x?1)(1?3x)?22532?(?3)2?8?272

?1)?xsin221?xsin22?1x?lim(1?xsin29?1)(1?xx(1?x2?limx?02?1)x?0??212

x(1?x?1)3. 解：y??10(1?cosx?2x)(?sinx?4x)

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4. 解：方程两边对x求微分，得

于是得到dy?ex?yy?xy??ex?y(1?y?)

(x?ex?y)y??ex?y?y

?yx?yx?eexdx

d(5?e)5?e?20xx 5. 解：由凑微分法 ?dx?x5?e?dx?25?ex?C

?? 6. 解：由分部积分法得 ? 7. 解：因为liman?1an?xcosx2dx?122xsin2x0?12??20sin2xdx?142cos2x0??12

n???lim2x?15(n?1)5n?1n2n??n2?152 所以收敛半径为5.

?x 8. 解：因为P(x)?y?e???2x?1dx,Q(x)?(x?1)e2x?1，由通解公式得方程的通解为

1(x?1)2(?(x?1)ee2?x??dxdx?C)?(1?x)2(?(x?1)2e?x2dx?C)?(1?x)(C?e2?x)

? 9.解：微分方程对应的特征方程为?代入原方程得

910?3??2?0，解得两相异的特征根?310??1,???2，设y?Acosx?Bsinx

?Acosx?Bsinx?3(?Asinx?Bcosx)?2(Acosx?Bsinx)?3sinx

整理后比较系数得A?10.解：作极坐标变换：xI?22x?y?4?,B?310，故特解为

，则有

2y??sinx?910cosx?rcos?,2?2r2y?rsin???e22x?ydxdy??d??erdr?2??0012er2??e?10?4?．

四、应用题

1．解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

S?2πr?2πrh?2πr?222Vr

3S??4πr?2Vr2

，由实际问题可知，当r?3由S??0，得唯一驻点r?V2π，此时h?34VπV2π，

h?34Vπ时用料

最省.

2. 解：即求成本函数c?x,y?在条件x?y?8下的最小值 构造辅助函数 F?x,y??x2?2y2?xy??(x?y?8)

?Fx??2x?y???0?解方程组 ?Fy???x?4y???0?F??x?y?8?0??

解得 ???7,x?5,y?3

这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)?52?2?32?5?3?28（万）

五、证明题

证明：对任意x有y??1?

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11?x2?x221?x?0(x?0) 所以函数y?x?arctanx单调增加，证毕．

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