《相似三角形的判定(1)》名师教案(人教版九年级下册数学)

27.2.1 相似三角形的判定 （王军）

第一课时

一、教学目标 1.核心素养

通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.

2.学习目标

掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.

3.学习重点

平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.

4.学习难点

平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.

二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务

任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？

任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？

任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？

2.预习自测

1.在△ABC 与?A?B?C?中，如果 ∠A=∠A?，∠B=∠B?，∠C=∠C?，且

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ABBCCA???k，那么△ABC与?A?B?C?_______，记作 _________，其中k A?B?B?C?C?A?就是两个相似三角形的 ______； 如果 k = 1，那么这两个三角形_______. 【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】

2.已知△ABC∽△EFD，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，则∠FED=______度. 【知识点：相似三角形性质】

3.如图，AD//BE//CF，且AB=6，BC=12，EF=10，则DE=_______. 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

（二）课堂设计

1.知识回顾

1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.

2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

3.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段. 2.问题探究

问题探究一 什么是相似三角形？

●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念

回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？

归纳 如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=BC?AC=k,

A?B?B?C?A?C?即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′相似记作 “△ABC∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.

说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例； （2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.

(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位

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置上.

(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△ABC∽△A′B′C′时，

ABBCAC??????=?=k,则△A′B′C′∽△ABC时，AB=BC?AC=1. A?B?B?C?A?C?ABBCACk（5）相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″； ●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用 例 如图，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9， 指出对应边、对应角，并求出相似比.

解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF. 对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. ∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.

点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.

问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索. 问题：如图，任意画两条直线m、n，再画三条与m、n都相交的平行线l1、 l2、l3，分别度量l1、 l2、l3在m上截得的两条线段AB，BC和在n上截得的两条线段DE，EF的长度，平移l3，AB与DE 还相等吗？

BCEFABDE相等吗？任意与BCEF 探究：如图，小方格的边长都是1，直线 l1∥l2∥l3 ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 .

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问题1：计算

A1A2B1B2，你有什么发现？ ,A2A3B2B3问题2：将l2向下平移到如图的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.

问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？ 学生讨论，通过计算

A1A2B1B2可以发现： ,A2A3B2B3

将l2平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式：

于是有，平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

可简记为：

上上上上下下 =，=，=.

下下全全全全说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；

(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；

(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等. ●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用

例：如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( ) A.

AFBEADBCHCHDBHAH? B.C. D. ???DFCEDFCE HEDFHCHD详解：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解. ∵AB∥CD∥EF，

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?BHAHADBCAFBE?,?,?, HCHDDFCEDFCE故选项A，B，D正确.

∵CD∥EF，∴ HC?HD,故选项C错误.

HEHF点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例. ●活动3 应用练习

1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x=________.

【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

21 解：42.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F. 已知A.

，则

的值为（ )

3223 B. C. D. 2355【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 解：D

问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？ 重点、难点知★▲ ●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论. 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.

在图 (1)中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图 (2)中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：

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A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【知识点：相似三角形判定的预备定理】

5.如图，已知：l1∥l2∥l3，BC=12，EF=10，DE=6，则AC= .

【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 6.如图，AB//CD，AE=3，DE=2，则

BC=_________. CE

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】

能力型 师生共研

AD2AE

7.已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，＝，那么的值AB7CE等于____.

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】

8.如图，四边形ABCD是平行四边形，且EF：FC=3：5，CD=3，则BE的长为________.

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】

9.如图所示l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝15 cm，AG＝12 cm，求GF，AF，EF的长.

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【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】

10.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.延长DC到G，连接AG，分别交对角线BD、边BC于点E，F. 求证：EF2?EF?EG.

【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】

探究型 多维突破

11.如图，已知△ABC，延长BC到点D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E. (1)求

AE

的值； AC

(2)若AB＝6，FB＝EC，求AC的长.

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】

12.如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交CD于点G， （1）若

CDAF?m(m?0)，求的值（用含m的代数式表示）. EFCG（2）（拓展迁移）如图2，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，

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AE和BD相交于点F，若数式表示）.

ABBCAE?a,?b(a?0,b?0)，求的值（用含a,b的代

EFCDBE

【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】 自助餐

1.如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）

【知识点：平行线分线段成比例定理】

2.如图，△ABC中，∠ADE=∠ABC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【知识点：相似三角形判定的预备定理】

3.如图，点E是平行四边形ABCD的边BC上一点，BE：EC=5：7，AE交BD于F，则BF：BD等于( )

A.5：17 B.5：7 C.5：12 D.7：12

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【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】

4.如图，直线l1∥l2，AF：FB＝3：4，BC：CD＝3：2，则AE：EC为( )

A.3：2 B.4：3 C.2：1 D.15：8

【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】

5.如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC中点，MN=4，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM长为（ ）.

ANDMBEC

A.

458545854565 B. C.或 D.或 5555 55【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】 6.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，CD＝10，那么EF的长是( )

8102014 A. B. C. D.

3375【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】

7.如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF=4∶5，AE=27，那么AC=_______.

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【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

8.如图，AM分别交平行四边形ABCD的对角线BD、边CD于P、N，交BC的延长线于M，若MN=10，PN=8，则AP的长为_______.

【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】 9.如图，在ΔABC中，D为BC中点，E为AD上一点，且AE?线交AB于F，若AF=8，则AB= .

4ED，CE的延长5

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】

10.如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA.

（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；

（3）若AB=20，BC=24，CA=12.求AD、DC的长. 【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】

11.如图，在△ABC中，AB＝30 cm，AC＝24 cm，菱形ADEF的顶点在△ABC的边上，求EF的长.

【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】 12.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：

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