2010年高考数学试题分类汇编计算题--立体几何(推荐)

2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

（2010上海文数）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小

题满分7分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出

用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0

S??3?(r?0.4)2?0.48?，

所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r?0.3时，l?0.6，作三视图略．

（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）

如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

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（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE?EB?AF?''23FD?4.沿直线EF将 VAEF翻折成

VAEF，使平面AEF?平面BEF.

（Ⅰ）求二面角A?FD?C的余弦值；

（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形

MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长。

''解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。 （Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH，因为AE=AF及H是EF的中点，所以AH?EF, 又因为平面AEF?平面BEF. 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则A（2，2，22），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）.

''''''第 - 2 - 页 共 43 页 立体几何

?'?故FA=（-2，2，22），FD=（6，0，0）.

?设n=（x,y,z）为平面AFD的一个法向量， -2x+2y+22z=0 所以

6x=0.

'取z??2，则n?(0,?2,2)。 ?又平面BEF的一个法向量m?(0,0,1)，

??n?m3??故cos?n,m?????。

n?m333所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）解：设FM?x,则M(4?x,0,0)，

因为翻折后，C与A重合，所以CM?A'M，

（22），得x? 故， (6?x)?8?0=（?2?x）?2?222222214，

经检验，此时点N在线段BC上，

所以FM?方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H,AF的中点G,连结

A'G,A'H,G。H

214。

因为A'E=A'F及H是EF的中点，

所以A'H?EF

又因为平面A'EF?平面BEF， 所以A'H?平面BEF, 又AF?平面BEF,

故A'H?AF，

又因为G、H是AF、EF的中点， 易知GH∥AB，

第 - 3 - 页 共 43 页 立体几何

所以GH?AF， 于是AF?面A'GH，

所以?A'GH为二面角A'?DH?C的平面角， 在Rt?A'GH中，A'H=22，GH=2，A'G=23 33所以cos?A'GH?.

故二面角A'?DF?C的余弦值为（Ⅱ）解：设FM?x,

33。

因为翻折后，C与A'重合，

所以CM?A'M，

而CMA'M22?DC?DM222?8?(6?x)，

222?A'H?MH2?A'H?MG?GH ?(2222)

2得x?214，

经检验，此时点N在线段BC上， 所以FM?

（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1?AC1?B1的大小．

214。

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参考答案】 (19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ??????3分

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作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

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【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.

（2010陕西文数）18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

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解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD,

又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD, ∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,

则BG⊥平面ABCD,且EG=

12PA.

22 在△PAB中，AD=AB,?PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=

1213.

∴S△ABC=AB·BC=

12×2×2=2,

1 ∴VE-ABC=S△ABC·EG=×2×

322=

13.

（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）

B1C?A1B 如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，

（Ⅰ）证明：平面AB1C?平面A1BC1；

（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B//平面B1CD，求

A1D:DC1的值.

解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C?BC1

又已知B1C?A1B,且A1B?BC1?B

所又B1C?平面A1BC1，又B1C?平面AB1C ， 所以平面AB1C?平面A1BC1 .

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE， 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1.

（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

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（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

??????1???11（Ⅰ）CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0，

2212），N（

12,0,0），S（1,

12,0）.??4分

所以CM⊥SN ??6分

????1（Ⅱ）NC?(?,1,0),

2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

1?x?y?z?0,??2则?令x?2，得a=(2,1,-2). ??9分 ??1x?y?0.??212?2

222????因为cosa,SN?1??3?所以SN与片面CMN所成角为45°。 ??12分

（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的

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公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。

（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为?FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

（2010江西理数）20. （本小题满分12分）

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23。 （1） 求点A到平面MBC的距离；

（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD， OM⊥CD.又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH?BC于H，连MH，则MH?BC，求得：

OH=OCsin600=

32,MH=

2515215,利用体积相等得：

VA?M?VBC??AM?dBC。

（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为?. 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

BF?BC?sin60??3，

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z

tan??AB5BF?2，sin??25 所以，所求二面角的正弦值是

255.

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间Az直角坐标系如图.

OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），

M（1）设?????n?(x,y,z)是平面MBC的法向量，则BC=(1,3,0)， BD????????????????BM?(0,3,3)，由n?BC得x?3y?0；由n?BM得

Oy?????3y?3z?0；取n?(3,?1,1),BA?(0,0,23)，则距离

?????xCBA?nd???215n5 （2）?????????CM?(?1,0,3)，CA?(?1,?3,23).

设平面ACM的法向量为??????????nz)，由?n1?CM???x?3z?01?(x,y,???????得?.解得

??n1?CA???x?3y?23z?0取??又

的法向量为?x?3z，y?z，n1?(3,1,.1)平面BCDn?(0,0,1)，则??????co?snn1?n??11n,????n1?n5

设所求二面角为?，则sin??1?(1)2?2555.

【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建

立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎

（2010安徽文数）19.(本小题满分13分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，

BF=FC,H为BC的中点， EF(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; DC第 - 10 - 页 共 43 页 立体几何 HAB

（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得FH∥平面EDB；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，AC?平面EDB；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的中点，故GH//12AB,12AB,?四边形EFGH为平行四边形又EF//?EG//FH，而EG?平面EDB，?FH//平面EDB

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

（2010重庆文数）（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

如题（20）图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，

PA?AB?2，点E是棱PB的中点.

（Ⅰ）证明：AE?平面PBC；

（Ⅱ）若AD?1，求二面角B?EC?D的平面角的余弦值.

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（2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

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（2010重庆理数）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点。 （I） 求直线AD与平面PBC的距离； （II）

若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

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（2010山东文数）（20）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为

MB、PB、PC的中点，且AD?PD?2MA.

（I）求证：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱锥P?MAB与四棱锥P?ABCD的体积 之比.

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（2010北京文数）（17）（本小题共13分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互垂直。

EF//AC，AB=2,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF; 证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=

12相

AG=1

所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG

因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF

∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

（2010北京文数）(18) （本小题共14分）

设定函数f(x)?4。

（Ⅰ）当a=3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围。 解：由f(x)?a3322x?bx?cx?d 得 f?(x)?ax?2bx?c

a3x?bx?cx?d(a?0)，且方程f(x)?9x?0的两个根分别为1，

32'2因为f?(x)?9x?ax?2bx?c?9x?0的两个根分别为1,4，所以??a?2b?c?9?0?16a?8b?c?36?0

（*）

?2b?c?6?0（Ⅰ）当a?3时，又由（*）式得?

8b?c?12?0?解得b??3,c?12

又因为曲线y?f(x)过原点，所以d?0

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故f(x)?x?3x?12x （Ⅱ）由于a>0,所以“f(x)?a3x?bx?cx?d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于

32322“f?(x)?ax?2bx?c?0在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得2b?9?5a,c?4a。 又??(2b)?4ac?9(a?1)(a?9)

?a?0???9(a?1)(a?9)?02解? 得a??1,9?

即a的取值范围?1,9?

（2010北京理数）（16）（本小题共14分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF//AG，且EF=1，AG=

12AC=1.

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以AF//平面EG，

因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF//平面BDE.

（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CE?AC， 所以CE?平面ABCD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.

???? 所以CF?(2222????,1)，BE?(0,?,2,1)，

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????DE?(?2,0,1).

???????????????? 所以CF?BE?0?1?1?0,CF?DE??1?0?1?0

所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.

????(III) 由（II）知，CF?(22,22,1)是平面BDE的一个法向量.

???????? 设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0，n?BE?0.

?(x,y,z)?(2,0,0)?0

(x,y,z)?(0,?2,1)?0? 即?所以x?0,且z? 令y?1,则z?2y,

2.

所以n?(0,1,2).

???? 从而cos?n,CF??????n?CF3?????。

2|n||CF| 因为二面角A?BE?D为锐角， 所以二面角A?BE?D的大小为

（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）

D?已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点C?.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； A?B?（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；

?O（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

M?D C

AB

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点

w_w w. k#s5_u.c o*m w_w w. k#s5_u.c o*m?6.

所以AM//12DD'//OK

所以MO//AKw_w w. k#s5_u.c o*m

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’

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????????rx?0?x?0?n?OC得设平面B1OC的法向量n=(x,y,z)，由??????，故， ????ry?2rz?0?y??2z??n?OB1???取z?1得平面B1OC的一个法向量为n=(0,-2,1)，因为0

（2010安徽理数）18、（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF?FB，

AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H为BC的中点。

EFDCHAB

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；

(Ⅱ)求证：AC?平面EDB； (Ⅲ)求二面角B?DE?C的大小。

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第 - 42 - 页 共 43 页 立体几何

（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 （1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。

因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=

22，故点A到平面PBC的距离等于2。

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得?ABC的面积S?ABC?1。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V?因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以PC?PD?DC2213S?ABC?PD?13。

?2。 22由PC⊥BC，BC=1，得?PBC的面积S?PBC?由VA?PBC?VP?ABC，S?PBC?h?V?3113。

，得h?2，

故点A到平面PBC的距离等于2。

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