试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养

试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养

姓名 韩璐璐 学号 200840510411 指导老师 荆科

摘要 本文以人们熟悉的斐波那契数列为例，通过分析类比，揭示斐波那契数列的性质，并表述如何培养中学生数学兴趣。通过斐波那契数列的几个实例，求出数列的通项公式，讨论斐波那契数列的实际应用，说明如何培养中学生数学兴趣。

关键词 斐波那契数列 通项公式 数学兴趣培养

Try to talk about the cultivation of students' mathematical

interest in the Fibonacci series

Abstract In this paper, the familiar Fibonacci sequence, for example, by analyzing analog, reveal the nature of the Fibonacci sequence, and demonstrate how to train high school students’ mathematical interest. Fibonacci sequence, a few examples, fined the formula of general term, to discuss the Fibonacci deed of the number of columns in the practical application of how to train high school students’mathematical interest.

Key words Fibonacci sequence The formula of general term Interest in Mathematics Education

1.引言

1202年，Fibonacci 在他所著的《珠算的书》中提出了这样的一个问题：“年初在围栏中放养一对小兔子，每对新出生的小兔子从第二个月起每月生一对小兔子，一年后围栏里有多少只兔子？”[1]

我们用?Fn?表示第n个月的兔子对数，

图1

1

如图1，第1个月，只有成年兔子1对；

第2个月时，成年兔子生1对幼兔，有2对兔子；

第3个月时，幼兔长大，成年兔子生1对幼兔，有3对兔子； 第4个月时，共有5对兔子； 第5个月时，有8对兔子；···，

因此可以看出，自第3个月起，成年兔子的个数就是前两个月中所有成年兔子的数目之和。所以，成年兔子的数目依次为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，···

还可以看出，幼兔的数目依次也是该数列，只是相隔了一个月。 当n依次等于1，2，3，4，······，n时，Fn为斐波那契数列。

我们可以得到关系式Fn?2?Fn?Fn?1，已知F1?F2?1，依次可求得

F3,F4,F5,···，Fn，并求其通项公式。

我们将求得的通项公式联系实际生活中的例子，说明其应用，讨论中学生数学兴趣培养的问题。

2.通项公式的推导

关于数列我们知道初始条件（F1?F2?1）和递推关系式（Fn?2?Fn?Fn?1），得到一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，···

在递推公式

Fn?2?Fn?Fn?1（n=1，2，3，···），即Fn?1?Fn?1?Fn（n=2，3，4，···）

两边同时加上kFn（k为常数），可得Fn?1?kFn??k?1?Fn?Fn?1 如果k?1，则上式右侧提取因式可得Fn?1?kFn?(k?1)(Fn?1k?1Fn?1)

令Gn?Fn?1?kFn ⑴ 则当k?1k?1，即k??1?21?25时，

5?Gn?是一个以q?k?1?为公比的等比数列。

2

由F1?F2?1知G1?F2?kF1?k?1?q

于是得Gn?G1qn?1?qn ⑵ 将k的两个值分别代入⑴，⑵可得Fn?1??1?2??1?5Fn???2?5????n?1?25??1?Fn???2?5????n ⑶

和Fn?1? ⑷

??1?5??????2??n⑶式减⑷式可得Fn?1???1???25????5????n????[2]

称为比内公式。（Binet,法国，1843年发现） 这就是我们要求出的斐波那契数列的通项公式。

3 斐波那契数列的应用 3.1 斐波那契数列与黄金分割

将斐波那契数列的前一项除以后一项，把所得的分数排列起来，就得到一个数列，

1112，

23，，，

5835813，

1321，···

我们分别求出各个分式的值：

112134?1，

12?0.5，

23?0.667，

35?0.6，

58?0.625，

813?0.615，

1321?0.619，

?0.617，···

5?12?0.618我们发现：分数列的各项在黄金分割点G?附近变化。

5??5??n1由于

FnFn?1?221n?1n?1??5??1??5??55???1?nn?15?n???n?1???1??5??2?????1?11??1?51?5??1??1?1???1??5??5??n?1，

可以求出

1?1?55??1?FnFn?15?21?5?6?25?4?5?32,所以知

1?1?55?1，

由此我们可知limn???21?5?5?12?0.618,

3

我们发现分数列的极限就是黄金分割数：G? 3.2 斐波那契数列与鲁德维格定律

5?12?0.618[3]。

数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。

这就是生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。[4]

根据鲁德维格定律，一株树木各年份的枝桠数，依次可写作下列的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，··· 恰好是斐波那契数列。

蕨类植物的琴状梢头，其螺线为“黄金螺线”。向日葵不但葵盘上有一左一右的黄金螺线，且每朵幼花或果花上也有两条黄金螺线；更为奇特的是，每套螺线总数都符合斐波那契数列：如有21条左旋，则必有13条右旋，其总数必为34条。此外，向日葵的外缘花瓣分为55和89瓣两种不同形状，这两个数值也恰好是斐波那契数列中的相邻两个数。事实上，任何一种菊科植物的花盘都具有与向日葵盘类似的特点。

研究表明，许多植物的叶片、花瓣、果粒数与斐波那契数列相吻合。例如，沿螺旋前伸的树叶分布、松果上的鳞片分布都与斐波那契数列有关。有人数过一朵“米切尔马斯花”，它恰好157瓣，把其中13瓣与其他144瓣比较，这13瓣特别长且弯曲向内，而157为斐波那契数列中的13?144合成。菲氏也数过一朵月季花，为21瓣，恰是斐波那契数列中的项。达尔文数过的波斯菊正好144瓣，其中55瓣和89瓣在形态上有明显差异：一种长丝卷曲向内，一种平展舒放向外；这三数也正好在斐波那契数列中。

在生物学中我们还可以发现许许多多的斐波那契数列的现象：如百合和蝴蝶花有3片花瓣；毛茛、金凤花有5片；大波斯菊、某些飞燕草有8片；万寿菊、金盏草有13片；紫菀有21片；雏菊有34、55或89片花瓣。[5]

4

3.3 斐波那契数列性质与趣味数学

斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的，

Fn?Fn?Fn?1?Fn?1???1?n?1?n?1? （5）

美国《科学美国人》杂志刊载过一则故事：

一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的裁缝朋友说：“请你把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位裁缝对魔术师的算数之差深感诧异，因为两者之间面积之差有一平方英尺呢！但是魔术师竟然用图2和图3的方法达到了他的目的。

图2

图3

如图2和图3所示，在魔术师的分配中，我们发现了正方形的边长是8，长方形的长和宽分别是13和5，恰好是三个相连的斐波那契数，满足关系式(5)，这就是为什么地毯会多出来一平方英尺的原因。

这是多么不可思议的一件事啊！ 3.4 斐波那契数列与递推思想

例1：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨1级或2级，要登上10级台阶，有多少中走法？[6]

解：我们尝试观察楼梯级数不同时走法的规律 假设楼梯有n级，则有

n?1时，有a1?1种走法；n?2时，有a2?2种走法；

5

n?3时，有a3?3种走法；n?4n?5时，有a5?8种走法；···

时，有a4?5种走法；

类似的，我们能得到an?an?1?an?2，那么数列?an?是斐波那契数列。我们可知，当n?10时，an?89，所以有89种走法可以登上10级台阶。

例2：把一枚硬币连续投掷8次在投掷过程中发生接连两次正面向上的概率是多少？[7]

解：以Pn表示n次投掷过程中接连两次正面向上的概率，以Qn表示n次投掷过程中不发生接连两次正面向上的概率。

显然我们有Q?1??1,Q?2??若n?2,则有两种情形

（1）：第一次背面向上，那么其余n?1次投掷中不出现两次正面向的概率是

Q?n?1?。

34。

（2）：第一次正面向上，那么若要满足不发生接连两次正面向上的条件，第二次必须投出反面向上，接着n?2次不接连出现两次正面向上的概率是

Q?n?2?。

综上所述我们得到递推关系式Q?n??两边同时乘以2n，

12Q?n?1??14Q?n?2??n?2?

我们可以得到2nQ?n??2n?1Q?n?1??2n?2Q?n?2?， 令F?n??2nQ?n?，则有F?n??F?n?1??F?n?2?，

那么?F?n??是斐波那契数列，且F?1??2，F?2??3，···，F?8??55， F?3??5，所以F?8??28Q?8??55，解得Q?8??55256,

201256而所求的接连两次正面向上的概率是P?8??1?Q?8??。

1an?1例3：已知数列?an?的第一项是1，以后的各项由公式an?1?给出，写

6

出该数列的的前5项。[8]

解：数列?an?的前5项是

a1?11；a2?1?1a1?21；a3?1?1a2?32；a4?1?1a3?53；a5?1?1a4?85；

不难发现前5项的分子分别是F1，F2，F3，F4，F5； 分母分别是F0，F1，F2，F3，F4。

由此，我们可以推想：数列?an?的第n项an的分子是Fn，分母是Fn?1，

?n?1,n?N?。

*则有an?FnFn?1?nn??????11?51?5??????????2?2?5???????1??1?5?????2?5????n?1?1?5?????2???n?1??????1?2?1???????1?5?5???1?5?5nnn?1n?1???⑹

用数学归纳法证明⑹式成立： ⑴当n?1时，a1?F1F0?1成立，

ak?⑵假设当n?k?k?N*?时，

FkFk?1成立，则ak?1?1?1ak?Fk?1?FkFk?Fk?1Fk，

所以n?k?1时也成立。 即证，对任意的n?N*，an?FnFn?1成立。

递推法是数学推理的重要方法之一，而斐波那契数列蕴含的推理思想在递推法思想中起着相当重要的作用。 3.5 斐波那契数列在几何中的应用

斐波那契数列数列在各行各业中被频繁使用，同样，在几何中也不可忽略。 问题4：两圆⊙O1，⊙O2外切，且两圆半径R1?R2?1,l为它们的一条外公切线，作⊙O3与⊙O1，⊙O2和l均相切，···，作⊙On?1与⊙On?1，⊙On和l均相切，求⊙On的半径Rn的表达式。[9]

7

解 作On?1A,OnB⊥l,过On?1作l的平行线分别交OA，OB于C,D，作

OnE⊥On?1A.

则由OnE?On?1C?On?1D可得rn?1rn?令An?1rnrn?1rn?1?rnrn?1

，则有An?1?An?An?1

1An2且有A1?A2?1，则数列?An?为斐波那契数列，则rn?.

由上题我们可以看到斐波那契数列在几何中的应用，而在数学的许多分支课程中，斐波那契数列都能用到。其中有些问题不仅可以用斐波那契数列的性质来求，而其实质性的问题就是斐波那契数列。

4 斐波那契数列与数学兴趣的培养

长期以来，在高考的压力越来越重的情况下，学生对于数学的学习越来越趋向于做题，趋向于分数为主，一切服从高考。但是这种模式下，老师的教学枯燥抽象，而更多的老师强调多做题，强调熟能生巧，过度的让学生去重视做题，在枯燥乏味的做题中学习，而没有教会学生创新地学习，学会在学习中了解数学的文化，教导出来的学生只是片面的学习数学，而并没有真正的对数学产生兴趣。学生对于数学的印象也仅仅局限于数字、定义、公式、公理，对数学的兴趣也在这些公式、定理的围攻下消磨殆尽，逐渐的失去了对数学学习的欲望，数学也就逐渐地沦为高考加分的工具。

数学的学习需要发现的眼光，需要在学习中培养学生探索发现的方法，在对数学探索的同时去学习数学内蕴的文化。这样学习数学才不会枯燥乏味，学习数学的兴趣才能被培养出来。

上述的关于斐波那契数列的问题就告诉我们如何在学习数学的同时培养学生学习数学的兴趣。首先，我们学习了斐波那契数列的由来，并初步分析了它的性质。其次，我们根据斐波那契数列的初始条件求出了数列的通项公式。最后了解了斐波那契数列在日常生活中的应用。

我认为，教师在数学教学过程中会面临各种各样的数学问题，如果能让学生了解数学问题的背景，明白数学问题的用途，知道数学问题中内蕴的数学文化，

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学生就会对问题产生求知欲，探索数学世界的兴趣热情自然而然的被激发出来，学生学习数学的积极性就会被调动。在教学的过程中，让学生体验学习数学的乐趣，了解数学问题的本质，同时也让学生学会如何将学习的数学知识应用到现实生活中去。这样的教学不但加强了学生的数学文化知识，提高了学生的数学素养，这正是素质教育的精华所在。

参考文献

[1] 戴吾三.《达芬奇密码》与斐波那契数列[J].自然杂志，2010，27（1）：53-53 [2] 华接春，吴日真.斐波那契数列[J].漫话数学，2007，12：29-31 [3] 邹常志，袁胜利.例谈斐波那契数列[J].数学世界，2010，6：41-41

[4] 魏小山.“斐波那契”狂想—信息技术校本课程的一次创意尝试[J].中国信息技术教育，2009，6：29-32

[5] 李同刚.奇妙的斐波那契数列[J].科海泛舟，2011，12：38-41

[6]王大力，付玉华.走楼梯与斐波那契数列关系教学研究[J].高教研究，2011，4：210-210 [7] 赵慧岩.斐波那契数列及其递推思想浅谈[J].学苑教育，2009，7：52-52 [8] 人教社.《数学》第一册（上） [M].北京：人民教育出版社，2001，109-109 [9] 张慧欣.也谈斐波那契数列[J].数学通报，2006，45（10）：62-63

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